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Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évidents...

Posté par
Astarus 21-09-20 à 19:48

Bonjour à tous !

Soient X1,..., Xn des ensembles. Montrer que pour tout k entier compris entre 0 et n inclus :

1. Si k est inférieur ou égal à (n+1)/2,

\bigcap_{H\epsilon Pk(n)}^{}{\bigcup_{i\epsilon I}^{}{Xi}} est inclus dans

\bigcup_{H\epsilon Pk(n)}^{}{\bigcap_{i\epsilon I}^{}{Xi}}

2. Si k est supérieur ou égal à (n+1)/2,

\bigcup_{H\epsilon Pk(n)}^{}{\bigcap_{i\epsilon I}^{}{Xi}} est inclus dans

\bigcap_{H\epsilon Pk(n)}^{}{\bigcup_{i\epsilon I}^{}{Xi}}

Pk(n) désigne les parties de cardinal k de l'ensemble.

Voici ce sur quoi je bloque (et encore, c'est un euphémisme...).

P.S : je suis en Terminale, bien que j'aie couvert le programme de MPSI en maths de mon côté, je n'ai sans doute pas autant d'aisance qu'un élève de maths sup, j'en appelle donc à l'indulgence de quiconque répondra à ce topic (si réponse il y a...) et desire une réponse claire et détaillée. N'hésitez pas non plus à expliciter la signification de l'énoncé pour m'aider à comprendre la résolution, je sens que ça ne va pas être simple... Merci !

malou > mets terminale dans ton profil ! tu n'es plus en 1re...  

Posté par
GBZMre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 21-09-20 à 23:55

Bonsoir,

I = H ?

Il me semble intéressant, pour un x dans la réunion des X_i, de considérer le nombre de i tels que x appartient à X_i.

Posté par
Astarusre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 22-09-20 à 08:39

Bonjour GBZM,

En effet c'est une étourderie de ma part, c'est i appartient à H et non pas à I. Je vous remercie pour votre réponse, je vais voir si cette indication me permet d'avancer.
malou > mets terminale dans ton profil ! tu n'es plus en 1re... il n'y aura pas de 3e demande...

Posté par
Astarusre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 22-09-20 à 09:38

(Je m'adresse juste aux admins : j'ai déjà mis mon profil à jour, est-ce que cela apparaît bien ? Normalement cela a bien été enregistré.)

malou edit > * oui, à c'est bon, tu es bien indiqué en terminale* merci

Posté par
Astarusre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 23-09-20 à 08:30

Bon...

Comme chaque ensemble H appartient à Pk(n), cela veut dire qu'il y a (k parmi n) ensembles H possibles, chaque ensemble H contenant k ensembles parmi X1,..., Xn.

x appartient à l'union de k ensembles Xi signifie qu'il appartient au moins à l'un d'entre eux, mais j'avoue ne pas trop comprendre où cela me mène. Notamment, j'ai du mal à me figurer l'intersection de toutes les unions de Xi, notamment car on ne suppose pas que les ensembles X1,..., Xn seraient disjoints, donc même une intersection de deux unions de deux familles de Xi n'ayant rien en commun (par exemple \bigcup_{X1, X2, X3}\bigcap_{}^{}{\bigcup_{X4, X5, X6}}) n'est peut-être pas vide. Donc comment avoir une idée de l'intersection de toutes les familles ? Peut-être que je prends le problème dans le mauvais sens, mais j'avoue que l'indication de GBZM m'est assez obscure.

Posté par
GBZMre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 23-09-20 à 08:44

Je précise alors :
Soit x dans la réunion des X_i. On note \ell(x) le nombre de i dans \{1,...,n\} tels que x\in X_i.

Peux tu décrire la propriété " x \in \bigcup_{|H|=k}\bigcap_{i\in H} X_i " comme une condition portant sur \ell(x) et k ?

Peux tu décrire la propriété " x \in \bigcap_{|H|=k}\bigcup_{i\in H} X_i " comme une condition portant sur \ell(x), k et n ?

Posté par
Astarusre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 23-09-20 à 15:05

Merci pour cette précision, voici où j'en suis pour l'instant:

Si x\epsilon\bigcup_{|H|=k}^{}{\bigcap_{i\epsilon H}^{}{Xi} \\ }
alors x appartient à au moins un des \bigcap_{i\epsilon H}^{}{Xi} donc x appartient à au moins k ensembles Xi. Donc l(x) est supérieur ou égal à k.

Si x\epsilon\bigcap_{|H|=k}^{}{\bigcup_{i\epsilon H}^{}{Xi} \\ }, j'ai remarqué en prenant quelques valeurs de n et k que l(x) était toujours supérieur ou égal à n-k+1, i.e l(x) est aussi visiblement toujours supérieur ou égal à k, mais je n'ai pas encore réussi à le démontrer rigoureusement.

Mes résultats sont-ils corrects et suis-je sur la bonne voie ? Merci encore pour votre aide, je sens que je vais y arriver (enfin j'espère...).

Posté par
GBZMre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 23-09-20 à 15:45

Tu es sur la bonne voie.
Persévère, tu obtiendras des conditions nécessaires et suffisantes en termes de \ell(x).

Posté par
Astarusre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 24-09-20 à 13:24

L'idée m'est venue hier soir:

Soient X1,..., Xn des ensembles qui ne sont pas tous disjoints.

On pose U = \bigcup_{|H|= k}^{}{\bigcap_{i\epsilon H}^{}{Xi}} et I =\bigcap_{|H|=k}^{}{\bigcup_{i\epsilon H}^{}{Xi}}.

Montrer que pour tout k appartenant à {0, n}:

1. Si k est inférieur ou égal à (n+1)/2, I est inclus dans U.
2. Si k est supérieur ou égal à (n+1)/2, U est inclus dans I.

Soit l(x) le nombre de i tels que x appartient à Xi.

Supposons que x appartient à U. Donc x appartient à au moins l'un des \bigcap_{i\epsilon H}^{}{Xi}, donc x appartient à au moins k ensembles Xi.
l(x) est donc supérieur ou égal à k.

Supposons que x appartient à I. Donc x appartient à l'intersection de tous les \bigcup_{i\epsilon H}^{}{Xi}. Comme chaque union de Xi contient k ensembles, il faut donc que x appartiennent à au moins n-k+1 ensembles. l(x) est donc supérieur ou égal à n-k+1.

Soit maintenant k inférieur ou égal à (n+1)/2.
Donc n-k+1 est supérieur ou égal à (n+1)/2.

Si k est inférieur ou égal à l(x), qui est lui-même inférieur à (n+1)/2, alors x appartient à U mais pas à I
Si l(x) est supérieur ou égal à (n+1)/2, alors x appartient à U et à I.

Donc quand x appartient à I, il appartient aussi à U, mais il peut aussi appartenir seulement à U. On en déduit que pour k inférieur ou égal à (n+1)/2, I est inclus dans U.

Pour k supérieur ou égal à (n+1)/2, n-k+1 est donc inférieur ou égal à (n+1)/2.

Si n-k+1 est inférieur ou égal à l(x), qui est lui-même inférieur à (n+1)/2, alors x appartient à I mais pas à U.
Si l(x) est supérieur iu égal à (n+1)/2, x appartient à U et aussi à I.

Donc quand x appartient à U, il appartient aussi à I, mais il peut aussi seulement appartenir à I. On en déduit que pour k supérieur ou égal à (n+1)/2, U est inclus dans I.

Validé ?

Posté par
GBZMre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 24-09-20 à 14:18

Non, pas vraiment

Citation :

Soit maintenant k inférieur ou égal à (n+1)/2.
Donc n-k+1 est supérieur ou égal à (n+1)/2.

Si k est inférieur ou égal à l(x), qui est lui-même inférieur à (n+1)/2, alors x appartient à U mais pas à I
Si l(x) est supérieur ou égal à (n+1)/2, alors x appartient à U et à I.


Ce n'est pas très clair.

On suppose k\leq (n+1)/2. On veut montrer I\subset U (il vaut mieux annoncer ce qu'on veut montrer).
Soit x\in I. Comme tu l'as vu, ceci entraîne \ell(x) \geq n+1-k, et donc \ell(x) \geq k. Mais dans ce que tu écris, je n'ai vu nulle part énoncé que c'est une condition suffisante pour x\in U.

Je te laisse reprendre ta rédaction pour arriver à quelque chose d'entièrement correct.

Posté par
Astarusre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 24-09-20 à 20:37

Cette fois-ci c'est la bonne (par pitié...).

Je vais faire attention à bien marquer les étapes de mon raisonnement.

Supposons x\epsilon U,
donc x appartient à au moins un \bigcap_{i\epsilon H}^{}{Xi},
donc x appartient à au moins k ensembles parmi X1,..., Xn.
Donc x\epsilon U \Rightarrow l(x)\geq k.

Supposons x\epsilon I,
donc x appartient à tous les \bigcup_{i\epsilon H}^{}{Xi},
donc il ne peut pas y a voir de \bigcup_{i\epsilon H}^{}{Xi}, contenant k ensembles, qui ne contienne pas un Xi contenant x,
donc x\epsilon I\Rightarrow l(x)\geq n+1-k.


Soit k\leq (n+1)/2, montrons que I\subset U.
D'une part, si x\epsilon I, alors l(x)\geq n+1-k.
Or k\leq (n+1)/2\Rightarrow l(x)\geq (n+1)/2,
donc l(x)\geq k,
donc x\epsilon U.
D'autre part, si x\epsilon U, alors l(x)\geq k.
Or k\leq (n+1)/2 donc il se peut que k\leq l(x)< (n+1)/2.
Or on a vu que x\epsilon I\Rightarrow l(x)\geq (n+1)/2.
Donc si k\leq l(x)< (n+1)/2, x\epsilon U mais x n'appartient pas à I.
On en déduit que pour k\leq (n+1)/2, x\epsilon I\Rightarrow x\epsilon U mais la réciproque est fausse.
Donc k\leq (n+1)/2\Rightarrow I\subset U.



Soit k\geq (n+1)/2, montrons que U\subset I.
D'une part, si x\epsilon U, alors l(x)\geq k.
Or k\geq (n+1)/2\Rightarrow l(x)\geq (n+1)/2,
donc l(x)\geq n+1-k,
donc x\epsilon I.
D'autre part, si x\epsilon I, alors l(x)\geq n+1-k.
Or k\geq (n+1)/2 donc il se peut que (n+1)/2\leq l(x)< k.
Or on a vu que x\epsilon U\Rightarrow l(x)\geq k.
Donc si (n+1)/2\leq l(x)< k, x\epsilon I mais x n'appartient pas à U.
On en déduit que pour k\geq (n+1)/2, x\epsilon U\Rightarrow x\epsilon I mais la réciproque est fausse.
Donc k\geq (n+1)/2\Rightarrow U\subset I.


GBZM, je m'en remets à votre jugement. Encore une fois, merci infiniment pour votre aide.

Posté par
GBZMre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 24-09-20 à 20:58

Bonsoir,

Pas mal mais, désolé, il y a toujours le même problème :

Tu montres x\in U \implies \ell(x) \geq k, fort bien, mais après tu utilises \ell(x) \geq k \implies  x\in U que tu n'as pas démontré.

Posté par
Astarusre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 24-09-20 à 21:32

Ah oui zut, je vous demande pardon. Je n'avais pas pense à le faire car il me semble que c'est assez trivial :

Supposons que l(x)\geq k.
Donc il existe \bigcap_{i\epsilon H}^{}{Xi} contenant x. Donc x\epsilon U.

Le raisonnement est analogue pour l'appartenance à I. J'ai un peu l'impression d'énoncer une tautologie par cette démonstration, cela me semble trop simple, mais pourtant j'ai l'impression que cela suffit. Est-ce correct ? Si oui, en incorporant cette démonstration à la résolution de l'exercice, suis-je arrivé à le résoudre correctement ?

Encore une fois, je vous remercie infiniment pour votre aide patiente, j'ai conscience que cela commence à faire long pour un simple exercice.

Posté par
GBZMre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 25-09-20 à 08:49

Pour conclure :

\ell(x) \geq k
si et seulement s'il existe H \subset \{1,\ldots,n\} de cardinal k tel que x\in X_i pour tout i\in H,
si et seulement si x\in U.

\ell(x)+k\geq n+1
si et seulement si pour tout H \subset \{1,\ldots,n\} de cardinal k, il existe i\in H tel que x\in X_i,
si et seulement si x\in I.

Si k \leq (n+1)/2, alors \ell(x)+k\geq n+1 entraîne \ell(x) \geq k, donc U\subset I.
Si k\geq (n+1)/2, alors \ell(x) \geq k entraîne \ell(x)+k\geq n+1, donc I\subset U.

Posté par
Astarusre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 25-09-20 à 10:11

Compris ! Cet exercice s'est avéré très instructif ! Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
GBZMre : Inclusion d'unions et d'intersection d'ensemble pas évident 25-09-20 à 10:39

Je corrige les deux dernières lignes :

Citation :
Si k \leq (n+1)/2, alors \ell(x)+k\geq n+1 entraîne \ell(x) \geq k, donc I\subset U.
Si k\geq (n+1)/2, alors \ell(x) \geq k entraîne \ell(x)+k\geq n+1, donc U\subset I.


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