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Inclusion où égalité de l'orthogonale de l'orthogonale
Bonsoir à tous !
Je relisais activement mon cours lorsque je me suis rendu compte d'une ambiguïté dans mon cours d'algèbre bilinéaire. Ce n'est sûrement pas une ambiguïté mais seulement le fait que je manque de connaissance...
Dans une proposition il est dit :
"Soient E un K-espace vectoriel, q une forme quadratique sur E. On a : pour tout sous espace vectoriel F de E, on a F
."
Quelques paragraphes plus bas, il nous est dit dans un corollaire :
"Soient E un espace vectoriel de dimension finie, q une forme quadratique non dégénérée sur E et F un sous espace vectoriel de E. Alors : = F.".
Je suppose qu'il doit y avoir une condition supplémentaire requise pour avoir l'égalité mais je n'arrive pas à mettre le doigt dessus :/
Merci pour la lecture.
PS : Le corollaire faisait suite à une proposition indiquant que l'application qui à tout vecteur y de E associe f(x,y) (où x est un vecteur fixé) était une forme linéaire sur E.
Bonsoir,
Tu as remarqué les deux différences dans les hypothèses :
E de dimensions finie
q non dégénérée
Ah voilà ce que je n'avais pas saisi. Merci encore une fois GBZM. Ce que j'en tire c'est que dans tous les cas pour une forme quadratique non dégénérée F est inclu dans l'orthogonale de son orthogonale et que l'on l'égalité si et seulement si E est de dimension finie .
Même pour une forme quadratique dégénérée, tout sous-espace est inclus dans l'orthogonal de son orthogonal (trivial à vérifier).
Pourrais-tu donner :
- un exemple avec une forme quadratique non dégénérée sur un espace de dimension infinie (par exemple, un produit scalaire) et un sous-espace strictement contenu dans l'orthogonal de son orthogonal ?
- un exemple avec une forme quadratique dégénérée sur un espace de dimension finie et un sous-espace strictement contenu dans l'orthogonal de son orthogonal ?
Bonjour Jijidu92i !
Ton "si et seulement si " du message précédent n'est pas correct.
Il peut y avoir égalité, même en dimension non finie.
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