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Niveau Maths sup
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Incompréhension d'une démonstration.

Posté par
Bast1523
29-09-21 à 21:06

Bonjour,
Je suis en prépa et je ne comprends pas une démonstration sur des applications, je m'explique :
Enoncé : Soit f : EF. Démontrer que (g F(E,E), fog = gof) f = IdE

La solution pour montrer cela est de choisir une valeur particulière de g qui est la fonction constante. Mais je ne comprends pas pourquoi peut-on choisir une valeur particulière de g alors que l'hypothèse porte sur toute application g.

Merci d'avance, bonne soirée

Posté par
Zormuche
re : Incompréhension d'une démonstration. 29-09-21 à 21:45

Bonjour

L'hypothèse de départ est vraie pour tout g
Dans ce contexte, il est alors vrai de dire que la propriété est vraie pour une fonction g particulière. Même si ce n'est pas exhaustif, c'est une information vraie. Et de cette information vraie, on tire des implications qui sont donc vraies

Posté par
Zormuche
re : Incompréhension d'une démonstration. 29-09-21 à 21:48

Voici un exemple très basique pour comprendre :

Soit  x  un réel tel que pour tout  y\ge 0  on ait  x\le y .
Démontrer que  x\le 0

Comment ferais-tu ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Incompréhension d'une démonstration. 29-09-21 à 23:18

Bonjour
qui peut le plus peut le moins ...
si c'est vrai pour toute fonction g, c'est a fortiori vrai pour n'importe laquelle en particulier

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Incompréhension d'une démonstration. 30-09-21 à 08:15

Bonjour,

Citation :
Soit f : EF
Sans doute une coquille avec F au lieu de E ?

Posté par
Bast1523
re : Incompréhension d'une démonstration. 01-10-21 à 06:30

Merci à vous j'ai compris même si ca ne me paraît pas vraiment évident. Et oui Sylvieg, l'habitude de dire de E dans F la plupart du temps

Posté par
DOMOREA
Incompréhension d'une démonstration. 01-10-21 à 10:50

bonjour,
Il y a une belle ambigüité dans ton texte et dans la réponse proposée, je pense que tu avais raison d'être contrarié

Citation :
La solution pour montrer cela est de choisir une valeur particulière de g qui est la fonction constante.


il aurait fallu dire " tester la proposition sur l'ensemble des fonctions constantes car sur une fonction constante particulière cela ne marche pas.

le texte commence par soit f une fonction
g(x)= 2, f(g(x))=f(2), g(f(x))=2 cela n'implique pas que f est l'identité car f(2)=2 ne suffit pas
en revanche g(x)=k f(g(x))=f(k) et g(f(x))=k donc pour tout k f(k)=k

c'est pour cela que je ne comprends ni l'intervention de Zormuche de 21h45 ni celle de Lafol de 23h18
le choix des fonctions g  constantes est décisif par le déroulé de la preuve mais dire qu'une proposition est vraie en ne prenant que quelques cas est une erreur logique

Posté par
Zormuche
re : Incompréhension d'une démonstration. 01-10-21 à 21:05

Pour ma part je ne me suis pas donné la peine de faire la preuve, c'est pour ça que j'ai parlé vite... En effet, il faut considérer toutes les fonctions constantes

Posté par
DOMOREA
Incompréhension d'une démonstration 02-10-21 à 11:09

bonjour,
En fait c'est plus subtil que cela .

Il y a une différence fondamentale entre définition exclusive et une propriété partagée.

Par définition la fonction identique dans R est "pour tout x de R, f(x)=x" c'est sa nature même
Le doute de notre ami Bast1523 provient de confusion entre propriété partagée et définition exclusive.

On peut dire aussi d'une manière un peu tordue que " pour x de R f(x)=x" est une propriété de l'identité bien qu'elle ne soit partagée par aucune autre fonction.

Exemple: Soit E un ensemble et F un ensemble strictement inclus dan E, soit T une relation binaire dans E, et S une relation unaire dans E.
Soit x0 un élément de E et soit la proposition  (\forall x\in E)[(xTx_0)\Rightarrow S(x_0)] soit vraie
En testant la relation T sur les éléments y de F et vérifier que (\forall y\in F)[(yTx_0)\Rightarrow S(x_0)] est vrai ne peut impliquer que S(x) est vrai pour tout x de E.
mais si S est une propriété exclusive de x0 c'est à dire sa définition alors la conclusion est autre



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