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Indépendance de vecteurs aléatoirs

Posté par
Brahim11
13-10-21 à 20:24

Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez bien.

S'il vous plait j'ai une question par rapport à l'indépendance de vecteurs aléatoires. Quelle-est la définition exacte de l'indépendance d'une famille de vecteurs aléatoires (Zi = (Xi1, ... , Xin)1in ?

J'ai trouvé sur wikipedia que :

Citation :
Deux vecteurs aléatoires sont indépendants si et seulement si la probabilité que ces vecteurs prennent une valeur donnée est égale au produit des probabilités que chaque vecteur prenne une valeur donnée. De plus si la covariance des deux vecteurs est nul.

S'il vous plait, j'ai deux questions par rapport à cette définition :
1. Si j'ai bien compris la première définition (en vert), On peut dire queles vecteurs aléatoires  :
(Zi = (Xi1, ... , Xin))1in sont indépendants si et seulement si les variables aléatoires (Xij,Yij) 1i,jn sont indépendantes ? (On reviens ainsi à la défintion de vecteurs aléatoirs indépendants).
2. Normalement, pour le cas des variables aléatoires, on a pas l'implication suivante : Cov(X,Y) = 0 alors X et Y sont indépendates. (Je sais que dans le cas d'un vecteur aléatoire gaussien X = (X1, ... , Xn), on équivalence entre indépendances des Xi et Xj et Cov(Xi, Xj) = 0, mais ici le vecteur n'est pas gaussien !)

Merci pour l'aide.

Posté par
GBZM
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 13-10-21 à 21:05

Bonsoir,

La phrase "De plus si la covariance des deux vecteurs est nul" n'a aucun sens en français. C'est une erreur sur cette page.

Brahim11 @ 13-10-2021 à 20:24

On peut dire queles vecteurs aléatoires  :
(Zi = (Xi1, ... , Xin))1in sont indépendants si et seulement si les variables aléatoires (Xij,Yij) 1i,jn sont indépendantes ?

Non, on ne peut pas. Deux vecteurs aléatoires X=(X_1,\ldots,X_n) et Y=(Y_1,\ldots,Y_p) sont indépendants quand

P(X_1\leq x_1,\ldots,X_n\leq x_n,Y_1\leq y_1,\ldots,Y_p\leq y_p) = P(X_1\leq x_1,\ldots,X_n\leq x_n)\times P(Y_1\leq y_1,\ldots,Y_p\leq y_p)

Posté par
Brahim11
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 13-10-21 à 22:01

Merci beacoup GBZM pour cette réponse.

En fait, je vous mets dans le contexte qui m'a conduit à poser cette question :
Dans un exercice, on a les données suivantes :

Citation :

On considère une famille de vecteurs aléatoires indépendants : Z_{i} = \begin{pmatrix}X_{i} \\ Y_{i} \end{pmatrix}
de loi gaussienne N_{2}(\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1 &\rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix})  avec ||<1.

Dans une réponse à la question suivante :
Citation :
Montrer que Wn = (X1, Y1, ... , Xn, Yn)T est un vecteur gaussien

Je n'ai pas compris d'ou viens l'indépendance dans le passage suivant :

Citation :

\sum_{i = 1}^{n}{\alpha_{i}X_{i}+\beta_{i}Y_{i} }{} est une gaussiènne, car \alpha_{i}X_{i}+\beta_{i}Y_{i} est une gaussiène (combinaison linéaire des variables aléatoires de la gaussiène Zi ), et les  \alpha_{i}X_{i}+\beta_{i}Y_{i} sont indépendantes, donc leur somme est une gaussiènne.



Je vous remercie pleinement pour vos efforts.

Posté par
GBZM
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 13-10-21 à 22:10

L'indépendance des vecteurs \begin{pmatrix} X_1\\Y_1\end {pmatrix},\ldots, \begin{pmatrix} X_n\\Y_n\end {pmatrix} entraîne l'indépendance des variables aléatoires \alpha_1X_1+\beta_1Y_1,\ldots,\alpha_nX_n+\beta_nY_n.
Mais attention, les v.a. X_1,Y_1,\ldots,X_n,Y_n ne sont pas indépendantes (la covariance de X_i et Y_i n'est pas nulle)

Posté par
Brahim11
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 13-10-21 à 22:21

Merci beaucoup GBZM.

Mais je ne comprends pas pourquoi

GBZM @ 13-10-2021 à 22:10

L'indépendance des vecteurs \begin{pmatrix} X_1\\Y_1\end {pmatrix},\ldots, \begin{pmatrix} X_n\\Y_n\end {pmatrix} entraîne l'indépendance des variables aléatoires \alpha_1X_1+\beta_1Y_1,\ldots,\alpha_nX_n+\beta_nY_n.


Merci infiniment.

Posté par
GBZM
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 13-10-21 à 22:33

Essaie de le démontrer pour n=2.

Posté par
Brahim11
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 13-10-21 à 22:46

J'ai essayé de démontrer la formule pour n=2, mais dans l'expression suivante :  P(\alpha _{1}X_{1}+\beta_{1}Y_{1}\leq a , \alpha _{2}X_{2}+\beta_{2}Y_{2}\leq b) le signe inconnu de \alpha_{1}, \beta_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2} ne me permet pas de diviser ces deux inégalités en deux inégalité en X1, Y1, X2, Y2 pour pouvoir utiliser l'indépendance des deux vecteurs Z1 et Z2.

Merci beaucoup pour l'aide.

Posté par
Brahim11
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 14-10-21 à 15:37

Pouvez vous me donner une autre indication pour cette démonstration dans le cas n= 2 s'il vous plait ?

Excusez moi pour tout dérangement. Merci bien.

Posté par
GBZM
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 14-10-21 à 16:14

Il s'agit de voir que l'indépendance des deux vecteurs entraîne que

P(\alpha_1X_1+\beta_1Y_1\leq z_1,\;\alpha_2X_2+\beta_2Y_2\leq z_2) = P(\alpha_1X_1+\beta_1Y_1\leq z_1)\times P(\alpha_2X_2+\beta_2Y_2\leq z_2)

Posté par
Brahim11
re : Indépendance de vecteurs aléatoirs 14-10-21 à 18:19

Toutes mes excuses pour mon manque d'attention.
Merci beaucoup GBZM.



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