Niveau LicenceMaths 2e/3e a

indépendance linéaire et dualité

Posté par
helocla69 23-04-23 à 14:46

Bonjour,

Je me demandais si la notion d'indépendance linéaire (liberté d'une famille de vecteurs) pouvait se traduire à l'aide de la dualité ?

Bonne journée

Posté par re : indépendance linéaire et dualité 23-04-23 à 14:53

Bonjour

Oui, bien sur. Montre que si on a une injection linéaire $\varphi:E\to F$ , une famille $(v_i)$ d'éléments de $E$ est libre si et seulement si la famille $(\varphi(v_i))$ est une famille libre de $F$ .

Posté par re : indépendance linéaire et dualité 23-04-23 à 19:08

Bonjour,
Merci mais je ne pensais pas à cela. Si on introduit $\phi_i : (x_1, ... x_n) \rightarrow x_i$ , on peut réécrire $\sum_{i=1}^n \lambda_i u_i =0_E$
comme $\sum_{i=1}^n \lambda_i u_i =0_E \\$
$\sum_{i=1}^n \lambda_i \phi_1 (u_i) =0 \\ \dots \\ \\ \sum_{i=1}^n \lambda_i \phi_n(u_i)=0 \\$
donc je me demandais s'il y avait quelque chose à exprimer en fonction de la base duale ou de la transposée ...

Posté par re : indépendance linéaire et dualité 24-04-23 à 14:57

Ce que tu demandes est un cas particulier de ma réponse.

On a une injection linéaire canonique $\varphi:E\to E^*$ définie de la manière suivante: Pour $x\in E$ on appelle $\varphi(x)$ la forme linéaire qui à $y\in E^*$ fait correspondre $y(x)$ .

Posté par re : indépendance linéaire et dualité 24-04-23 à 20:53

Bonsoir Camélia, je pense qu'il y a une typo dans ton message, l'injection doit être dans le bidual.

Bonne soirée

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