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Inegaite a valeur absolue

Posté par
Pyro96 05-10-22 à 20:24

** bonjour **

Soient x,y et z des reels tels que : z>0 et \left|x+y \right|\leq z  et \left|x-y \right|\leq z ,  Montrer que \left|xy \right|\leq \frac{1}{4}z 2 et \left|x+y \right| \leq z

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 20:32

Il y a une petite erreur dans la question c'est montrer que :\left|x \right|+\left|y \right|\leq z

Posté par
malou Webmasterre : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 20:35

Bonsoir
Qu'as tu commencé à faire ?

Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci.

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 20:39

bonsoir

en voyant

Pyro96 @ 05-10-2022 à 20:24

\left|x+y \right|\leq z  et \left|x-y \right|\leq z  ici des z

Montrer que \left|xy \right|\leq \frac{1}{4}z 2  et ici z^2
j'aurai une furieuse envie d'élever au carré les deux premières inégalités ... en justifiant un minimum les choses ...

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 21:15

j'ai deja demontre la deuxieme inegalite en utilisant \left|\left|x \right|+\left|y \right| \right| \leq \left|x-y \right|\leq z

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 21:19

en es-tu certain ?

prenons x = y = 2 ...

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 21:33

oh non je l'ai confuse avec [tex]\left|\left|x \right|-\left|y \right| \right|\leq \left|x-y \right|
[/tex]

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 21:41

c'est bon j'ai trouve pour la 1ere

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 22:04

avec mon indication ?

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 22:23

carpediem @ 05-10-2022 à 22:04

avec mon indication ?
Oui c'est bien cela j'ai fait le carre pour les deux l'opposee pour la deuxieme ensuite la somme

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 22:46

j'aimerai bien voir ...

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 22:55

carpediem @ 05-10-2022 à 22:46

j'aimerai bien voir ...

\left|x+y \right|^{2}\leq z\Leftrightarrow 0\leq x^{2}+2xy+y^{2}\leq z^{2} et \left|x-y \right|^{2}\leq z\Leftrightarrow 0\leq x^{2}-2xy+y^{2}\leq z^{2} \Leftrightarrow -z^{2}\leq -x^{2}+2xy-y^{2}\leq 0 puis on fait la somme: -z^{2}\leq 2xy\leq z^{2} \Leftrightarrow \left|xy \right|\leq \frac{1}{4}z^{2}

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 23:05

à partir de je ne vois pas comment tu conclus ...

certes il faudra élever au carré comme je l'ai dit mais il faut partir du bon début !!

4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2 puis on prend la valeur absolue ...

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 23:06

carpediem @ 05-10-2022 à 23:05

à partir de puis on ...je ne vois pas comment tu conclus ...  et c'est faux ...

certes il faudra élever au carré comme je l'ai dit mais il faut partir du bon début !!

4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2 puis on prend la valeur absolue ...

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 23:09

carpediem @ 05-10-2022 à 23:05

à partir de je ne vois pas comment tu conclus ...

certes il faudra élever au carré comme je l'ai dit mais il faut partir du bon début !!

4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2 puis on prend la valeur absolue ...

je suis desole c'est mon erreur il c'est -z^{2}\leq 4xy\leq z^{2 } \Leftrightarrow -\frac{1}{4}z^{2}\leq xy\leq \frac{1}{4}z^{2}

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 23:10

carpediem @ 05-10-2022 à 23:06

carpediem @ 05-10-2022 à 23:05

à partir de puis on ...je ne vois pas comment tu conclus ...  et c'est faux ...

certes il faudra élever au carré comme je l'ai dit mais il faut partir du bon début !!

4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2 puis on prend la valeur absolue ...


je n'ai jamais pense a cela, cette methode est beaucoup plus courte que la mienne.

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 05-10-22 à 23:34

ok c'est bon ...

c'est juste plus élégant ... tout simplement parce que je pense à un (ou plusieurs) coup en avance (comme aux échecs) ...

mais ça c'est l'expérience ... et ça viendra pour toi aussi !!



mais tu vois finalement ça ne marche pas quand même car :

4|xy| = |(x + y)^2 - (x - y)^2| \le |(x + y)^2| + |(x - y)^2| \le 2z^2 \Longrightarrow |xy| \le \dfrac 1 2 z^2

donc ta façon de procéder est meilleure car elle répond à la question mais pas la mienne


par contre non : un truc qui ne va pas dans ta rédaction c'est tes équivalences et tu as oublié des carrés sur certains z ...

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 06-10-22 à 18:18

ah oui c'est totalement vrai, je ferai gaffe  mais pour la deuxieme inegalite auriez vous une idee

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 06-10-22 à 19:14

je procéderai comme tu l'as fait :

-z < x + y < z    (1)
-z < x - y < z      (2)


(1) + (2) =>
(1) - (2) =>

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 06-10-22 à 22:20

carpediem @ 06-10-2022 à 19:14

je procéderai comme tu l'as fait :

-z < x + y < z    (1)
-z < x - y < z      (2)


(1) + (2) =>
(1) - (2) =>
J'ai deja essaye cette methode, c'etait la premiere chose qui m'est venue a l'esprit mais ca n'a pas marche pour moi: (1) +(2) : -2z\leq x+x-y+y\leq 2z \Rightarrow -2z \leq 2x \leq 2z \Rightarrow -z \leq x \leq z de meme pour y:  (1)-(2): -2z\leq x+y-x+y \leq 2z\Rightarrow -z \leq y \leq z
donc : \left|x \right| +\left|y \right| \leq 2z

Posté par
alwafire : Inegaite a valeur absolue 06-10-22 à 23:11

Bonsoir,

en l'absence de carpediem , je donne une indication pour la deuxième

inégalité : faire une disjonction de cas selon les signes de  x  et  y .

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 07-10-22 à 09:24

|x + y| = |-x + (-y)| = |x - (-y)| = |y - (-x)| \\ \\ |x - y| = |x + (-y)| = |-x - (-y)| = |y + (-x)|

or |x| + |y| = | |x| + |y| |

donc |x| + |y| \le z

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 07-10-22 à 15:16

carpediem @ 07-10-2022 à 09:24

|x + y| = |-x + (-y)| = |x - (-y)| = |y - (-x)| \\ \\ |x - y| = |x + (-y)| = |-x - (-y)| = |y + (-x)|

or |x| + |y| = | |x| + |y| |

donc |x| + |y| \le z

Merci beaucoup pour votre aide!! J'ai reussi a resoudre l'exercice par disjonction des cas, cependant je n'arrive pas a comprendre comment vous concluez @cardepiem c

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 07-10-22 à 16:20

les nombres |x + y| et |x - y| résument toutes les possibilités d'écrire |x| + |y| sans les valeurs absolues ...

Posté par
Pyro96re : Inegaite a valeur absolue 07-10-22 à 19:11

carpediem @ 07-10-2022 à 16:20

les nombres |x + y| et |x - y| résument toutes les possibilités d'écrire |x| + |y| sans les valeurs absolues ...

Mercii beaucoup!! A la prochaine!

Posté par
carpediemre : Inegaite a valeur absolue 07-10-22 à 19:26

de rien


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