Tu peux utiliser la fonction ln (logarithme népérien), qui est croissante sur R+* ...
On a : ln(a^b) = b.ln(a)
et : ln(x.y) = ln(x) + ln(y)

j'ai testé mais je trouve un truc trop bidon :
x(lnx - ln(1-x)) + ln(1-x) -ln2

j'étudie la fct et je trouve qu'elle tend tjrs vers 0 ... chelou quoi...

la technique est la bonne je pense :
pour tout x dans ]0,1[ On a :

xln(x) +(1-x)ln(1-x)+ln(2)>0
on pose
f : x-> xln(x) +(1-x)ln(1-x)+ln(2)

f'(x) = ln(x)-ln(1-x)
f'(x) >0 <=> x > 1/2

et lim f(x)= lim f(x)=0
   x->0      x->1
dc f est decroissante sur ]0,1/2[, croissante sur
]1/2,1[ mais toujours positive atteignant un minimum positif en 1/2.

d'ou les solutions l'intervalle ]0,1[

Je me permets d'ajouter des solutions qui sont généralement oubliées:

L'inéquation est également vérifiée pour x = 2n+1 avec n dans N et pour x = -2n avec n dans N.
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Voir si ces solutions étaient attendues.

Donc x = 0, 1, 3, 5, 7 ...
et x = -2, -4 ,-6 ...
conviennent

exemple x = 3
->
x^x . (1-x)^(1-x)
3³ * (-2)^(-2) = 3³ /(-2)² = 27/4 qui est >= 1/2
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Merci pour le complement JP.
Effectivement on va parler de solutions "généralement oubliées", la preuve !!!!