Prouver pour tout X de IR:
x^6-x^5+x^4-x^3+x²-x+1 >= 1/2
BONJOUR ?
MERCI D'AVANCE ou S'IL VOUS PLAIT ?
Lire ceci : ------> "A lire avant de poster, ici. Merci" = Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci les gestionnaires de ce forum n'ont pas écrit ce topic, juste pour faire joli dans le décors !
En effet il semblerait que cette relation soit vraie pour tout x dans IR .... En regardant la représentation graphique de la fonction f définie par
f(x) = x6 - x5 + x4 - x3 + x² - x + 1
Mais je ne sais pas le démontrer niveau seconde !
Il n'y a vraiment que cette question ? pas d'autres indices ?
Peut-être en faisant le graphe avec une calculatrice ?
Effectivement, on trouve un minimum dans les 0.6 pour x ~ 0.67
oui c'est vrai parce que tu peux alors minorer par f(-1) et f(1) (après avoir montré que la fonction était monotone dans ces intervalles, ce qui n'est pas sis simple) mais ici on te le demande pour tout x dans
Bonsoir,
J'ai pensé à une mise en facteurs de f(x)-1 ,ce qui nous permettrait d'écrire :
nous avons :
Il nous reste alors à considérer
Alain
oui bien sur mais il reste un cas non résolu ...
si x < 0 alors f(x) est une somme de termes positifs dont un est 1 donc f(x) > 1 > 1/2
si x > 1 alors cette écriture permet d'écrire que f(x) > (x - 1)x + 1 > 1 > 1/2
reste le cas 0 < x < 1
....
C'est donc plutôt le programme de première:
x^6-x^5+x^4-x^3+x²-x+1 = (x^7 +1 )/ (x+1) (somme d'une suite géométrique)
ensuite pour 0<x<1, x^7 >0 et x+1 < 2
donc x^7+1 > 1 et 1/(x+1) > 1/2
en multipliant membre à membre (puisque tout est positif) : (x^7+1)/ (x+1) > 1/2
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