Niveau Reprise d'études-Ter

Inégalité

Posté par Ramanujan 11-10-18 à 23:11

Bonsoir,

J'ai des suites de polynômes $(u_n(x))$ et $(v_n(x))$ définies sur $[0,1]$

J'ai une inégalité valable que sur $[0,1[$ :

$\forall x \in [0,1[ : u_n(x) \leq ln(1+x) \leq v_n(x)$

Je dois montrer que :

$u_n(1) \leq ln(2) \leq v_n(1)$

Je pensais à passer à la limite en 1 mais je suis pas sûr c'est en $1^{-}$ ?

Posté par re : Inégalité 11-10-18 à 23:13

bonsoir

et alors ? oui, passe à la limite quand x tend vers 1 avec x<1

Posté par re : Inégalité 11-10-18 à 23:23

Salut Matheuxmatou

$lim\limits_{x \rightarrow 1^-} u_n(x) \leq lim\limits_{x \rightarrow 1^-} ln(1+x) \leq lim\limits_{x \rightarrow 1^-} v_n(x)$

La fonction ln est continue sur $]0,+\infty[$ donc elle est continue en 2 donc :
$lim\limits_{x \rightarrow 1^-} ln(1+x) =ln(2)$

$(u_n(x))$ et $(v_n(x))$ sont des suites de polynomes en x donc elles sont continues sur $\R$ donc en $1$

$lim\limits_{x \rightarrow 1^-} u_n (x)=u_n(1)$
$lim\limits_{x \rightarrow 1^-} v_n (x)=v_n(1)$

D'où le résultat.

Posté par re : Inégalité 11-10-18 à 23:28

voilà

Posté par re : Inégalité 11-10-18 à 23:44

Merci

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