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Niveau Reprise d'études
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Inégalité

Posté par
Ramanujan
09-01-19 à 01:43

Bonsoir,

Comment justifier l'équivalence suivante :

\sin(- \dfrac{\pi}{4}) \leq \sin(\theta) \leq \sin(\dfrac{\pi}{4}) 	\Leftrightarrow - \dfrac{\pi}{4} \leq \theta \leq  \dfrac{\pi}{4}

La réciproque est évidente par croissance de la fonction sinus sur [- \dfrac{\pi}{2},- \dfrac{\pi}{2}] mais la réciproque je vois pas

Posté par
Zormuche
re : Inégalité 09-01-19 à 02:03

Bonjour

ce n'est pas la réciproque avec laquelle tu as du mal mais l'implication directe

utilise le TVI

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 09-01-19 à 03:37

Ah merci !

Par continuité de la fonction sinus sur \R et la stricte croissance de la fonction sinus sur [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] d'après le TVI :

Si on note : k=\sin (\theta)

\forall k \in [\sin(-\dfrac{\pi}{4}),\sin(\dfrac{\pi}{4})] , \exists ! \theta \in [-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}] : k=\sin (\theta)

Posté par
lake
re : Inégalité 09-01-19 à 05:44

Bonjour,

Écrit sans précision(s):
  

Citation :
  \sin(- \dfrac{\pi}{4}) \leq \sin(\theta) \leq \sin(\dfrac{\pi}{4}) 	\Leftrightarrow - \dfrac{\pi}{4} \leq \theta \leq  \dfrac{\pi}{4}


est évidemment faux.

  

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 09-01-19 à 13:54

Salut Lake j'ai oublié de préciser l'intervalle d'étude :

I_0 = [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]

En fait j'étudiais la fonction f(\theta)= |\sin(\theta)| pour résoudre :

\sin(\theta) \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}

J'ai utilisé que f est \pi périodique donc j'ai réduit l'étude à I_0 quitte à ajouter k \pi aux solutions trouvées.

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 09-01-19 à 15:30

Lake j'ai pas trop compris le problème en plus dans le TVI j'utilise même pas mon intervalle I_0

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 09-01-19 à 15:32

Sinon faut justifier en utilisant le tableau de variation de la fonction sinus ?

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 09-01-19 à 19:26

Posté par
malou Webmaster
re : Inégalité 09-01-19 à 20:38

je ne vois pas le lien de

Citation :
\sin(- \dfrac{\pi}{4}) \leq \sin(\theta) \leq \sin(\dfrac{\pi}{4}) 	\Leftrightarrow - \dfrac{\pi}{4} \leq \theta \leq  \dfrac{\pi}{4}

avec ce que tu cherchais à résoudre plus bas

\sin(\theta) \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}

Posté par
lafol Moderateur
re : Inégalité 09-01-19 à 21:54

Bonjour
encore un énoncé foireux ...
le jour où Ramanujan donnera son énoncé, et pas ce qu'il croit en avoir compris ....

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 10-01-19 à 03:27

Exercice 72 :
Résoudre : \sin^2(\theta) \leq \dfrac{1}{2}

L'inéquation donnée s'écrit aussi : |\sin(\theta)| \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}

Comme la fonction \theta \longmapsto |\sin(\theta)| est \pi périodique il suffit de résoudre l'inéquation sur un intervalle d'amplitude \pi.
Travaillons donc sur I_0 = [- \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 10-01-19 à 03:33

Etant donné que l'inéquation s'écrit aussi :

- \sin(\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin(\theta) \leq \sin(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Et que la fonction sin est strictement croissante sur I_0, ses solutions sur cet intervalle sont les \theta tels que :

-\dfrac{\pi}{4} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{4}  

Par suite l'ensemble des solutions de cette équation est la réunion des intervalles :

[-\dfrac{\pi}{4}+ k \pi , \dfrac{\pi}{4} + k \pi] avec k \in \Z

A quoi sert la stricte croissance ici ?  Il suffit d'utiliser le TVI donc la continuité pour montrer l'existence suffit non ?

Posté par
lake
re : Inégalité 10-01-19 à 08:25

C'est un exercice de niveau 1ère. On ne connaît pas le TVI.

On dessine un cercle trigonométrique et on conclut immédiatement:

  \sin^2\theta\leq \dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq \sin\,\theta\leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longleftrightarrow -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{4}+2k\pi avec k\in \mathbb{Z}

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 10-01-19 à 08:39

Je suis d'accord avec vous Lake mais vous avez vous la correction que j'ai mise de mon livre de MPSI ?

J'ai pas compris à quoi sert la stricte croissance dans la démo.

Posté par
lake
re : Inégalité 10-01-19 à 08:54

D'ailleurs, j'ai commis un erreur:

    \sin^2\theta\leq \dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq \sin\,\theta\leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longleftrightarrow -\dfrac{\pi}{4}+k\pi\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{4}+k\pi avec k\in \mathbb{Z}

Pour la stricte croissance sur un intervalle, antédents et images sont dans le même ordre.

  

Posté par
lafol Moderateur
re : Inégalité 10-01-19 à 13:38

Bonjour
la stricte croissance permet d'avoir une bijection entre les intervalles, et donc l'équivalence entre (sin(t) compris entre sin(machin) et sin(bidule)) et (t compris entre machin et bidule)

Posté par
lafol Moderateur
re : Inégalité 10-01-19 à 13:38

la stricte croissance associée à la continuité, bien entendu. la stricte croissance seule ne donne que l'injectivité

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 10-01-19 à 13:54

Ah d'accord merci ! Vu qu'elle est continue et strictement croissante donc bijective, il suffit d'appliquer f^{-1} à l'inégalité et on retombe sur theta compris entre machin et bidule.

Une question : si f est strictement croissante f^{-1} aussi ?

Je dirais oui car son graphe est le symétrique par rapport à la première bissectrice.

Posté par
lafol Moderateur
re : Inégalité 10-01-19 à 14:00

je vois mal comment a et b pourraient ne pas être rangés dans le même sens que f(a) et f(b), à partir du moment où f(a) et f(b) sont rangés dans le même sens que a et b ... (signification de la croissance)

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 10-01-19 à 17:22

D'accord mais vous n'avez pas répondu à ma question sur la bijection réciproque

Posté par
lafol Moderateur
re : Inégalité 10-01-19 à 18:18

ah bon ? et à quoi d'autre ?

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 11-01-19 à 12:29

Si f est monotone sur I alors f^{-1} est monotone sur I

Posté par
malou Webmaster
re : Inégalité 11-01-19 à 13:29

c'est quoi une fonction monotone pour toi ?

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 11-01-19 à 15:28

Une fonction strictement croissante vérifie :

x < y \Rightarrow f(x) < f(y) ou f'(x) >0

Si f est strictement monotone sur I avec f(a)=b alors :

Si f'(a) \ne 0 : f^{-1}(b) = \dfrac{1}{f'(a)}

Si f'(a) >0 alors f^{-1}(b)  >0

Posté par
malou Webmaster
re : Inégalité 11-01-19 à 15:43

tu te perds tout seul dans tes notations ! ce que tu as écrit n'est pas juste
mais bon
une fonction strictement monotone est soit ....soit....
donc il y a longtemps que lafol a répondu à ta question ....

Posté par
lafol Moderateur
re : Inégalité 11-01-19 à 15:52

C'est incroyable ! Tu n'as donc pas lu ce que je t'avais expliqué ? Tu n'es pas capable de faire le lien entre a et l'image de f(a) par la réciproque de f ?

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 11-01-19 à 15:57

Une fonction strictement monotone est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

Si f(a)= b alors a = f^{-1}(b)

Si f est strictement croissante alors f^{-1} est strictement croissante.

Si f est strictement décroissante alors f^{-1} est strictement décroissante.

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 11-01-19 à 16:19

malou @ 11-01-2019 à 15:43

tu te perds tout seul dans tes notations ! ce que tu as écrit n'est pas juste
mais bon
une fonction strictement monotone est soit ....soit....
donc il y a longtemps que lafol a répondu à ta question ....


Ce ne sont pas mes notations mais celles de mon livre de maths de MPSI.

Posté par
malou Webmaster
re : Inégalité 11-01-19 à 16:34

m'étonnerait que ce soit ça qui soit écrit !! vérifie !
et puis avant de comprendre un bouquin de MPSI, faudrait peut-être tout simplement connaître et maîtriser le programme de lycée...sais pas...mais ça me paraît tellement évident....

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 11-01-19 à 17:09

Proposition 17 :

Soit f une fonction strictement monotone et dérivable de Isur J=f(I) ainsi que b \in J et a=f^{-1}(b)

La fonction f^{-1} est dérivable en b si et seulement si f'(a) \ne 0

Si  f'(a) \ne 0 on a alors : f^{-1}'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}

Posté par
malou Webmaster
re : Inégalité 11-01-19 à 17:12

j'espère que tu vois la différence avec ce que tu as écrit plus haut....

Posté par
Ramanujan
re : Inégalité 11-01-19 à 17:14

Ah oui j'ai fait une petite erreur de frappe

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