(a et b dans R+ )

Bonjour,

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Compte tenu des contraintes, 0<a<1 et 0<b<1)
L'étude de f(a)=(1+1/a)(a+1/(1-a)) montre un minimum pour a=1/2
(1+1/a)(1+1/b)=9>3

Plus élégamment, pour ma dernière ligne,

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f(1/2)=9>3

salut

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en multipliant par ab > 0 et en remplaçant b par 1 - a il vient :



qui est évidemment strictement positif ...

Bonjour,

il y a mieux que l'inégalité proposée :

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puisque entraine puis

bonjour,

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avec a+b=1  et  a>0, b>0
((1 + 1/a)(1 + 1/(1-a) ) = (-a² + a+2)/(-a²+a)
qu'on examine sur   ]0 ; 1[
le minimum, atteint pour a=1/2  vaut 9.

Une autre façon de montrer

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Avec le changement de variable:


On a

Nouveau changement de variable: , donc


a son minimum quand est maximum. Et donc

Bravo à tous et à toutes

je me suis lancé dans la manip suivantes au regard des réponses données  mais vu sous l'angle de l'inegalité de cauchy shwartz
<u,v>|u|.|v|    en posant pour le vecteur u ( 1/a , 1) et v(1 , 1/b)  , on a donc
1/a  +  1/b (1+1/a).(1+1/b).  si on eleve ensuite au carré cette inégalité , il vient  (1/a + 1/b)²(1+1/a)(1+1/b) , soit donc
1/ab + 2/ab (1+1/a)(1+1/b) pour la partie gauche de cette inégalité , comme ab1/4, alors  1/ab 4  et 2/ab 4  alors  1/ab + 1/ab 8   du coup :
8(1+1/a)(1+1/b)   , ce n'est pas peut etre pas encor la meilleure inégalité comme l'a precisé Jandri