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Niveau Maths sup
inégalité arithmetico géometrique
Posté par Acrobate23
Bonjour,
j'ai un exercice où le but est de demontrer l'inégalité arithmetico-géometrique.
Tout d'abord il faut montrer que:
1) Pour tout (x,y) appartenant à (R+)^2 , √xy ≤ (x+y)/2
Cette question est assez simple j'y suis arrivé
2) En deduire que pour tout n entier naturel et pour tout (x1, ... , x2^n) appartenant à (R+)^2 on a:
(√(x1*x2*....*x(2^n)))^1/2^n ≤ (x1 + x2 +....+ x2^n)/(2^n)
j'y arrive pas du tout, j'ai beaucoup de mal...
2) Soient n un entier et (x1, ... , x2^n) appartenant à (R+*)^n on note m = (1/n) * x1*x2 *... * xn la moyenne arithmetique des nombre x1,....,xn
a) Montrer que 2^n > n
ça tout vas bien, avec un peu de temps j'y suis arrivé...
b) on pose xn+1 = ... = x2^n = m. En utilisant les questions precedante montrer l'inégalite arithmetico-géometrique
j'aurai peut etre moins de mal avec cella en resolvant la question 1 mais la je vois pas du tout
Oups petite correction desolé:
m = (1/n) * x1+x2 +... + xn dans la question 2)
D'ailleurs erreur de frappe la question "En deduire que pour tout n entier naturel... " est la question 1) b) et non 2)
Bonjour, pour 2), vu le 2n on attend probablement la démonstration historique de Cauchy dont voilà la démarche 
(parce qu'il y a une démonstration plus simple qui utilise la concavité du graphe de la fonction logarithme)
Bonjour,
2) En deduire que pour tout n entier naturel et pour tout appartenant à
on a:
Est ce que c'est ça ton énoncé ?
Je corrige je me suis peut être mal exprimé
Mon énoncé est en déduire que....
(x1 * x(2^1) *.... * x2^n)^(1/2^n) <= (x1 + x2 +... + x(2^n)) /2^n
Ne peux peux tu pas écrire les indices comme il faut?
Acrobate23 @ 09-09-2018 à 12:57
Je corrige je me suis peut être mal exprimé
Mon énoncé est en déduire que....
(x1 * x(2^1) *.... * x2^n)^(1/2^n) <= (x1 + x2 +... + x(2^n)) /2^n
Il n y a pas d'indice? Je corrige je me suis peut être mal exprimé
Mon énoncé est en déduire que....
(x1 * x(2^1) *.... * x2^n)^(1/2^n) <= (x1 + x2 +... + x(2^n)) /2^n
un topic qui vient d'être ranimé et qui parle du même problème : Inégalité arithmético-géométrique (2)