Bonjour à tous. Je prépare le capes interne de math toute seule et j'espère l'être un peu moins gràce à vous... Voici mon problème:
Je n'arrive pas à prouver que :
pour tout n > 0 : 2racine(n(n+1)) - 2n - 1 < 0
Voila!! Merci d'avance à ceux ou/et celles qui prendront le temps de m'aider!!
Bonjour Celine77
Je mets <= pour "inférieur ou égal"
0 <= 1
en ajoutant 4n² + 4n à chaque membre
4n² + 4n <= 4n² + 4n +1
4n(n+1) <= (2n+1)²
(2n+1)^2" alt="(2\sqrt{n(n+1)})^2(2n+1)^2" class="tex" />
Le carré de est inférieur ou égal au carré de 2n+1
et comme les nombres et 2n+1 sont positifs, ils sont dans le même ordre que leurs carrés.
d'où le résultat
Bien ntendu, j'ai cherché à l'envers
Comme les nombres
0 < 1
0 + 4n² + 4n < 1 + 4n² + 4n
4n(n+1) < (2n+1)²
et comme les 2 cotés sont >= 0 et que (2n+1) > 0, on fait la racine carrée sans modifier le sens de l'inégalité
2.racine(n(n+1)) < 2n+1
2.racine(n(n+1)) - 2n - 1 < 0
-----
Sauf distraction.
Merci à JP et encore une fois à siOk
siOk, merci aussi pour m'avoir dit comment tu avais fait.
Vous êtes supers!! Je me sents soudain beaucoup moins seule et mon moral remonte!!
Merci encore
Puisque tu prépare le capes interne, une autre idée (ou plus exactement un lien)
la moyenne arimétique de deux nombres a et b est:
(a + b) / 2
la moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est:
Propriétés:
On a toujours pour a et b positifs, moyenne géométrique < moyenne arithmétique
Tu appliques les deux moyennes aux nombres n et n+1.
racine(n(n+1)) < 2n + 1
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