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Inégalité avec intégrale

Posté par
PtitLouis 24-04-17 à 22:12

Bonjour,

Cela fait quelques jours que j'essaye de résoudre la question suivante:

Pour x]0,+[ on définit
h(x)=\int_{0}^{+\infty }{\frac{x.cos(t)}{x^2+t^2}} dt

Grâce à une intégration par parties je montre comme on me le demande que:
h(x)=2.x \int_{0}^{+\infty }{\frac{t.sin(t)}{(x^2+t^2)^2}} dt

Maintenant il me faut montrer que pour x]0,+[ on a:
\left|h(x) \right|\leq \frac{1}{x}


Et là je bloque, auriez-vous quelques pistes ?

Merci d'avance,
Louis

Posté par
SkyMtnre : Inégalité avec intégrale 24-04-17 à 22:44

Bonsoir, pour R>0, tu as \vert h(x)\vert \leqslant 2x \int_0^R \dfrac{t}{(x^2+t^2)^2}\,\mathrm dt une primitive de l'intégrande étant t\mapsto -\frac{1}{2(x^2+t^2)} je crois qu'avec ça tu devrais t'en sortir

Posté par
veledare : Inégalité avec intégrale 24-04-17 à 22:44

lonsoir,
utilises le fait que la valeur absolue  de l'intégrale est inférieure à l'intégrale de la valeur absolue de l'intégrande  et que  la valeur absolue de  tsint est inférieure à t sur R+


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