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Inégalité avec norme

Posté par
jarod128
29-12-21 à 16:09

Bonjour,
je suis tombé sur un exo d'oral que je partage ici. Comment vous y prendriez-vous? Inutile de blanker, je n'ai pas encore trouvé
Soit (E,||.||) un espace vectoriel normé réel de dimension d. Soient x1,...,xn \in E. Montrer qu'il existe une suite de signes \delta_1,...,\delta_n \in \{-1;1\} tels que :
||\sum_{i=1}^n \delta_ix_i||\ge \frac{1}{d}\sum_{i=1}^n||x_i||

Posté par
verdurin
re : Inégalité avec norme 29-12-21 à 17:35

Bonsoir,
juste une remarque avent de chercher.

Il me semble qu'on doit avoir n\geqslant p
Sinon on a un contre exemple en prenant n=1 et p>1.

Posté par
verdurin
re : Inégalité avec norme 29-12-21 à 18:11

J'ai lu \leq au lieu de \geq

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Inégalité avec norme 01-01-22 à 21:30

Bonsoir

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Posté par
jarod128
re : Inégalité avec norme 02-01-22 à 09:58

elhor_abdelali très joli ce "simultanément"
Une idée pour le cas restant ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Inégalité avec norme 02-01-22 à 13:10

Merci jarod128

Citation :
Une idée pour le cas restant ?


je réfléchis encore

Posté par
jarod128
re : Inégalité avec norme 13-01-22 à 13:24

elhor_abdelali
Je me suis remis à ce problème. Ne peut-on pas se ramener à ton cas n<=d en disant que si n>d, forcément on a des vecteurs colinéaires et en les sommant on arrivera à une sous famille libre d'au plus d éléments, on applique ta démo puis on utilise le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire pour terminer?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Inégalité avec norme 13-01-22 à 21:55

Bonjour jarod128

essayes de rédiger ton idée et on en discutera

Posté par
jarod128
re : Inégalité avec norme 14-01-22 à 14:52

Je tente en appelant lemme ta démonstration pour le cas n\le d
Je traite le cas d<n<2d le cas d<n s'y ramenant par itération.
J'applique alors le lemme aux d premiers vecteurs.
On a alors l'existence de d signes vérifiant l'inégalité demandée.
Soit X=\sum _{i=1}^d \delta_i x_i
J'applique alors le lemme à X et les derniers vecteurs qui n'ont donc pas encore été utilisés. Ils sont en nombre inférieur ou égal à d. J'obtiens alors:
||\delta X + \sum _{i=d+1}^n \delta_i x_i||\ge \frac{1}{d}(||\delta X||+ \sum _{i=d+1}^n ||x_i||)=\frac{1}{d}(||X||+ \sum _{i=d+1}^n ||x_i||)\ge \frac{1}{d}(|| \sum _{i=1}^d \delta_i x_i||+ \sum _{i=d+1}^n ||x_i||\ge \frac{1}{d}(\frac{1}{d} \sum _{i=1}^d  ||x_i  ||+ \sum _{i=d+1}^n ||x_i||)\ge \frac{1}{d} \sum _{i=1}^n  ||x_i  ||

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Inégalité avec norme 14-01-22 à 15:13

il me semble que ta dernière inégalité est plutôt dans le sens inverse ! mais je peux me tromper

Posté par
jarod128
re : Inégalité avec norme 14-01-22 à 17:27

c'est bien moi qui me suis trompé!!! Faudra donc s'y remettre.



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