Bonjour
tu as oublié de nous dire ce que représente U ... m'est avis que tu peux utiliser "z dans U" pour écrire z sous forme exponentielle ou trigonométrique ...

U siginfie que |z|=1
Je ne vois pas ce que vous voulez dire par "z dans U"...

z appartient à U, si tu préfères

bonsoir,
z est unimodulaire  tu peux écrire



tu calcules

tu dois traduire la condition

tu peux t'aider d'une figure

Soit  z   U tel que  |1 + z| > 1  .
On a : z = exp(it) où t [- , [  et |1 + exp(it) |² > 1 donc cos(t) > -1/2 càd  |t| < 2/3 .
Alors :
|1 + z²|² - 1  = 1 + 2cos(2t) ......

@etniopal merci de guider, pas de donner cash la réponse, surtout sans explications ...
En plus, vous avez mal lu l'énoncé.

Merci veleda, je vais essayer de faire ça

Salut,

pour compléter ce que dis Veleda; tu peux utiliser la technique de l'angle moitié pour |1+e^2it| et tu trouveras (je te laisse le faire) 2|cos(t)|.

Or maintenant remarque que ce que l'on te demande de démontrer est respecté pour certaines valeur de t qu'il faudra justifier, en premier lieux pour toi grâce à une figure, et ensuite rigoureusement.

Dans ce que j'ai envoyé hier soir j'ai mis , au début ,  > au lieu de < .

Je corrige donc :

Soit  z    U  tel que  |1 + z|  < 1  .
On a : z = exp(it)   et |1 + exp(it) |²  < 1 .
Si on développe  on obtient : 2 + 2cos(t)  < 1 donc cos(t) < -1/2   .

Maintenant  |1 + z²|² - 1  = 1 + 2cos(2t)     =  1 + 2(2cos²(t) - 1) = 4cos²(t) - 1 =  4(-cos(t))² - 1 > 0  (puisque -cos(t) > 1/2 ) ce qui prouve que  |1 + z²| >  1 .

salut

en notant z* le conjugué de z





or  

...

Salut carpediem,

c'est exactement ce que disait veleda et moi-même seulement on préférait (en tout cas pour moi) que le demandeur trouve de lui même

Bonjour,
Pour ceux qui veulent prolonger :
Quel serait le minimum de |1+z²| si |z| était quelconque ?
Plus précis : Quel est le minimum de |1+z²| si |z+1|1 ?

J'ai mis pour que ce soit un minimum et pas une borne inférieure.
Je trouve 1/2
Voir Démonstration module complexe

Bonjour bonjour,
j'ai réussi à trouver ce qu'il me fallait ^^ merci beaucoup
Si j'ai du mal avec la deuxième question, je repasserai

Bon, j'essaie depuis tout à l'heure de résoudre la question et ça coince... Décidément, les complexes c'est pas mon fort...
On me donne |u|=|v|. Montrer que si si |u+v|<1<|u| alors |u²+v²|>1.
J'ai essayé en mettant au carré l'inégalité et ça ne me mène nul part, tout comme réexprimer la première expression donnée...

Bonsoir,
Que peut-on dire de |u/v| et |v/u| ?
Essaye d'utiliser la question 1).

Salut,

ici c'est encore plus simple:

|u²+v²|=|(u+v)²-2*u*v||2*u*v|-(u+v)²>1

Ici on utilise deux fois le fait que |u+v|<1, car ainsi |2*u*v|>|u+v|.

Je voulais mettre un module pour le (u+v)², bien entendu...

Merci jokass, j'ai un peu plus développé que tu as écris mais c'est super
Merci beaucoup de votre aide !

certes ... mais comme le dit Sylvieg le résultat est immédiat à partir de la question précédente ...