Niveau autre

Inégalité coriace

Posté par
Dexter2017 14-10-13 à 17:27

Bien que je ne sois plutôt occupé ces derniers temps, j'ai trouvé tant bien que mal l'opportunité de me balancer dans un exercice assez coriace sur les inégalités

$\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2+xz} + \frac{1}{z^2+yx}$ $\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z})$

J'ai beaucoup de difficulté en ce qui concerne la résolution de ces genres d'inégalités, j'ai entamé quelques ouvrages infructueux et j'espère que vous m'aideriez

édit Océane : forum modifié

Posté par re : Inégalité coriace 14-10-13 à 17:28

je voulais préciser que x, y, z étaient des réels strictement positifs

Posté par re : Inégalité coriace 14-10-13 à 18:09

Bonjour,

C'est évidemment faux pour x=y=z > 1.

Posté par re : Inégalité coriace 14-10-13 à 21:29

En changeant le sens de l'inégalité ? Je songe qu'avec cette transformation l'inégalité est vraie

Posté par re : Inégalité coriace 14-10-13 à 21:43

L'inégalité dans l'autre sens est fausse aussi (par exemple pour x=y=z < 1).

Posté par re : Inégalité coriace 14-10-13 à 22:10

Sinon ajoutons x,y,z 1

Posté par re : Inégalité coriace 03-11-13 à 15:35

Un peu en retard mais bon ...

Si on inverse le sens de l'inégalité et on suppose de plus que x,y,z1 elle devient exacte :

$\Large 2x \le x^2+1 \\ \Longrightarrow \frac{1}{2x} \ge \frac{1}{x^2+1} \\ yz \ge 1 \\ \Longrightarrow x^2+yz \ge x^2+1 \\ \Longrightarrow \frac{1}{x^2+yz} \le \frac{1}{x^2+1} \\ \Longrightarrow \frac{1}{x^2+yz} \le \frac{1}{2x} \\ \frac{1}{y^2+xz} \le \frac{1}{2y} \\ \frac{1}{z^2+yx} \le \frac{1}{2z}$
d'où la conclusion.