Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Inégalité de Bernouilli
Bonjour
Je sais que des questions un peu similaires ont déjà été posées mais elles ne répondent pas à mon problème qui est :
1) n est un entier naturel non nul.
Démontrez que pour tout réel x positif ou nul, (1+x)puissance n>=1+nx
2) Déduisez-en que pour tout entier naturel n non nul, et pour tout réel x positif ou nul, (1+x)puissance n >= 1+nx
Merci d'avance à tous ceux qui m'aideront à résoudre ce problème
Salut,
plusieurs méthodes pour démontrer.
1ère méthode: étude de fonction.
Soit f(x)=(1+x)n-1-nx
Il s'agit d'étudier les variations de f (qui est croissante sur 
+ et f(0)=0...donc de ccl que f(x)
0 pour tout x réel positif....et alors tu conclues.
2ème méthode: récurrence.
Pour n=1, l'inégalité est vérifiée immédiatement.
Supposons l'inégalité vraie pour tout entier naturel n non nul.
Alors (1+x)n+1=(1+x)n(1+x)
Or, par hypothèse de récurrence (1+x)n1+nx
donc (1+x)n(1+x)(1+nx)(1+x)
(1+x)n(1+x)1+x+nx+nx²
soit encore:
(1+x)n(1+x)1+x(n+1)+nx²
et nx²>0
donc (1+x)n(1+x)1+x(n+1)
la proposition est alors vérifiée au rang (n+1).
L'inégalité est donc vraie pour tout entier naturel n>0.
Annuler
connectez vous