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Inégalité de Bessel

Posté par
mousse42 12-10-18 à 18:57

Bonjour,

Je ne comprends pas un truc concernant la démonstration de l'inégalité de Bessel.

Citation :
Proposition :

Soit f une fonction 2\pi -périodique et intégrable sur [-\pi,\pi] alors :

\dfrac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)\le \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(t)\cdot dt

Début de la démonstration :

Soit S_n(t)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos (kt)+b_k\sin(kt))

0\le \int_{-\pi}^{\pi}[f(t)-S_n(t)]^2 \,dt=\int_{-\pi}^{\pi}[f^2(t)-S_n(t)]\cdot dt-\blue \int_{-\pi}^{\pi}[f(t)-S_n(t)]S_n(t)\cdot dt

L'intégrale bleue, la démonstration me dit qu'elle est nulle.

Voici la justification :
Citation :
Les coefficients de Fourier de S_n sont les mêmes que ceux de f (du rang 0 au rang n) et ils sont nuls à partir de n+1. Donc f-S_n a ses coefficients de Fourier nuls du rang 0 au rang n donc :

\int_{-\pi}^{\pi}[f(t)-S_n(t)]S_n(t)\cdot dt=0


Et là, je m'interroge car si on suppose que les coefficients de Fourier sont nulles de 0 à n pour f-S_n

Ceci sous-entend que f(t)-S_n(t) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))

Ainsi \int_{-\pi}^{\pi} \bigg( \sum_{k=n+1}^{+\infty} (a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))\bigg)\bigg(\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos (kt)+b_k\sin(kt))\bigg)\cdot dt=0

Après linéarisation, je comprends que cette intégrale est nulle (à part le fait qu'on a une somme infinie qui me dérange un peu)

Mais ce qui me dérange le plus est que dans  l'intégrale il est question de f, et non pas de sa série de Fourier. Qu'est-ce qui prouve que la série de Fourier de f converge vers f. ????

Merci

Posté par
carpediemre : Inégalité de Bessel 12-10-18 à 19:06

salut

la série de Fourier de f c'est plutôt la limite de la suite (S_n) ...

cette limite est f parce qu'on le démontre /l'a démontré par ailleurs (on travaille dans L^2([-pi, pi]) muni de sa norme....)

et là où tu fait l'erreur c'est que dans la définition de S_n on s'arrête à n dans la somme !!! on ne va pas jusqu'à +oo

voir

Posté par
mousse42re : Inégalité de Bessel 12-10-18 à 19:11

oui, c'est ce que j'ai compris,
mais la limite de S_n donne la série de Fourier de f mais ne converge pas forcement vers f et je n'ai aucun théorème qui me donne une condition sur f pour me garantir S (t)=f

Posté par
mousse42re : Inégalité de Bessel 12-10-18 à 19:19

tu remarqueras que j'ai fait

f(t)-S_n(t)=S(t)-S_n(t) =\sum_{k=n+1}^{+\infty} (a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))

Je ne crois pas avoir fait d'erreur.

Posté par
carpediemre : Inégalité de Bessel 12-10-18 à 20:19

oui ... mais cela remonte à trop loin maintenant ...

il (me) faudrait un cade plus général (détaillé) de la situation ...

je le vois d'une autre façon pour expliquer :

si on considère E = \{\sum_0^n a_i \cos (kt) + b_k \sin (kt)  /  (a_k, b_k) \in \R^2 \}

alors S_n est le projeté orthogonal de f sur E

et donc f - S_n est orthogonal à S_n ... pourle produit scalaire associé \dfrac 1 {\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t)g(t)dt

enfin

Posté par
carpediemre : Inégalité de Bessel 12-10-18 à 20:19

enfin je le vois comme ça ...

Posté par
mousse42re : Inégalité de Bessel 12-10-18 à 21:16

merci carpediem (je vais creuser ça)

Posté par
luzakre : Inégalité de Bessel 12-10-18 à 23:01

Tu as raison : rien n'assure la convergence le la série de Fourier de f sans hypothèse sur f.

Mais les intégrales \int S_n(f-S_n) sont nulles car les coefficients de Fourier de f et S_n sont les mêmes pour les indices inférieurs à n.

En écrivant f=f-S_n+S_n tu auras \int|f|^2=\int|f-S_n|^2+\int|S_n|^2 (les produits mixtes donnent des intégrales nulles).
Alors \int|S_n|^2 (qui est la somme partielle des carrés des  modules des coefficients de Fourier) est majorée par \int|f|^2.
D'où la convergence de la série \sum(|a_n|^2+|b_n|^2) et la majoration de la somme de la série (inégalités de Bessel).

Posté par
mousse42re : Inégalité de Bessel 13-10-18 à 00:00

luzak ok merci pour ces informations, je vais étudier tout ça tranquillement

Posté par
carpediemre : Inégalité de Bessel 13-10-18 à 08:50

ha oui !!! je vois mieux en fait avec la réponse de luzak (que je remercie au passage)

il y a confusion entre la série de Fourier S de f (qui est une somme infinie) et S_n qui est la somme partielle jusqu'au rang n donc pour laquelle au delà de n les coefficients sont nuls

ce me semble-t-il ...

Posté par
luzakre : Inégalité de Bessel 13-10-18 à 09:57

Personne n'aurait dû parler de "série de Fourier de f " : seuls "les coefficients de Fourier de f" (qui sont toujours bien définis) sont utilisés.

S_n est une combinaison linéaire des intégrales (sur le bon intervalle) \int fu_k,\;\int fv_k où u_k(t)=\cos(kt),\;v_k(t)=\sin(kt).
Alors, les intégrales \int u_pu_q,\;\int u_pu_q,\;\int v_pv_q étant nulles lorsque p\neq q on a aussi \int(f-S_n)S_n=0.

...................
Question à mousse42.
Ton cours est vraiment celui que tu décris ? Pas d'utilisation des exponentielles complexes t\mapsto e^{ikt}?
Je dis ça car, avec les exponentielles complexes, les démonstrations sont plus faciles à rédiger et à comprendre !

Posté par
mousse42re : Inégalité de Bessel 13-10-18 à 10:44

le cours ne parle pas de série de fourier de f dans la démonstration, c'est une supposition de ma part.

Ci -dessous tu vois que l'on pose S_n(t) (voir ligne (*)), mais la preuve ne dit rien sur la provenance des coefficients (J'ai donc supposé que c'était ceux de f.

_______________________________________________________________________________________________

Citation :
Citation :
Proposition :

Soit f une fonction 2\pi -périodique et intégrable sur [-\pi,\pi] alors :

\dfrac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)\le \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(t)\cdot dt

Début de la démonstration :

Soit S_n(t)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos (kt)+b_k\sin(kt))\qquad (*)

0\le \int_{-\pi}^{\pi}[f(t)-S_n(t)]^2 \,dt=\int_{-\pi}^{\pi}[f^2(t)-S_n(t)]f(t)\cdot dt-\blue \int_{-\pi}^{\pi}[f(t)-S_n(t)]S_n(t)\cdot dt

L'intégrale bleue, la démonstration me dit qu'elle est nulle.

Voici la justification :
Citation :
Les coefficients de Fourier de S_n sont les mêmes que ceux de f (du rang 0 au rang n) et ils sont nuls à partir de n+1. Donc f-S_n a ses coefficients de Fourier nuls du rang 0 au rang n donc :

\int_{-\pi}^{\pi}[f(t)-S_n(t)]S_n(t)\cdot dt=0

____________________________________________________________________________________


J'ai bien compris que l'integrale du  produit de \cos(kt)\sin(pt) avec p\ne k sur un un intervalle [-\pi,\pi] est nulle.

Si j'ai le droit d'écrire :

\int_{-\pi}^{\pi}[f(t)-S_n(t)]S_n(t)\cdot dt=\int_{-\pi}^{\pi} \bigg( \sum_{k=n+1}^{+\infty} (a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))\bigg)\bigg(\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos (kt)+b_k\sin(kt))\bigg)\cdot dt

Alors mon problème est presque réglée puisque j'ai dans la première somme j'ai k\ge n+1, et la seconde somme k<n+1  

La seul chose que je n'arrive pas à me représenter est : f-S_n

Est-ce que f(t)-S_n(t) =  \sum_{k=n+1}^{+\infty} (a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))

Posté par
luzakre : Inégalité de Bessel 13-10-18 à 19:13

Non tant que tu n'as les conditions permettant d'écrire que f est somme de sa série de Fourier.
Pour le moment, f(t)-S_n(t)=f(t)-\sum_{0\leqslant k\leqslant n}(a_k\,\cos(kt)+b_k\,\sin(kt)) et a_k,b_k sont les coefficients de Fourier de f.
Si ce n'était pas dit c'est une faute de l'énoncé : ta supposition était correcte.

Non tu ne peux pas écrire tes formules avec intégrale, les sommes infinies ne sont pas définies et, même si elles le sont, il faut encore avoir le droit d'intégrer terme à terme.

Ta démonstration est la suivante : soit u_k : t\mapsto\cos(kt),\;v_k : t\mapsto\sin(kt).
En mettant les bornes : 0\leqslant k\leqslant n\implies a_k=\int u_k\,f=\int S_n\,u_k (f,S_n ont les mêmes coefficients de Fourier pour k\leqslant n).
Idem pour les v_k.
Par conséquent, k\leqslant n\implies\int u_k(f-S_n)=\int v_k(f-S_n)=0 et, comme S_n combinaison linéaire des u_k,v_k on a par linéarité \int(f-S_n)S_n=0.

Posté par
mousse42re : Inégalité de Bessel 14-10-18 à 00:12

ok, merci luzak, je crois avoir compris, je regarde ça dans le détail dès mardi


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