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inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Posté par
Albanmaths2
28-05-23 à 11:20

Je fais un exercice et j'ai un peu de mal voici l'énoncé : On considère une pièce de monnaie dont la probabilité de tomber sur pile est p.
Soit X la variable aléatoire valant 1 si pile est obtenu et 0 sinon.
Soit a un réel strictement positif.
Déterminer la valeur de p pour laquelle le majorant de P(∣X−E(X)∣⩾a) obtenu à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est le plus grand.

Donc en nommant p la proba de tomber sur pile et donc d'obtenir 1 et (1-p) celle de tomber sur face et d'obtenir 0,
E(X)=p*1+(1-p)*0=p
V(X)=(1-p)*(0-p)^2+p(1-p)^2=-p^2+p
Ainsi en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev on a :
P(\midX-p\mid\geqa)\leq(-p^2+p)/a^2
C'est ici que je bloque ai-je fais une erreur dans mon raisonnement ?
Je vous remercie par avance

Posté par
carpediem
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 28-05-23 à 11:32

salut

finis déjà l'autre sujet ...

Posté par
flight
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 28-05-23 à 12:53

salut

sauf erreur c'est  f(p)= (p-p²)/a² qu'il faut etudier et chercher la valeur de p qui rend f maximale

Posté par
Albanmaths2
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 28-05-23 à 14:34

Oui c'est bien l'expression à laquelle je parviens mais comment étudier cette dernière parce que j'ai deux inconnues p et a ?

Posté par
Albanmaths2
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 28-05-23 à 15:30

Mais étant donné qu'on va lancer la pièce un nombre de fois inconnu,
on peut considérer qu'on lance n fois le pièce, donc dans ce cas la fréquence d'apparition de la pile est donné par M=X1+X2+...Xn où chaque variable aléatoire Xk est identique à X non ? Dans ce cas je devrais appliquer l'inégalité de concentration et pas Tchébytchev ?
Je vous remercie.

Posté par
carpediem
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 28-05-23 à 18:01

non on ne lance pas la pièce n fois mais une fois !!

flight a donné la réponse ...

Posté par
Albanmaths2
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 28-05-23 à 21:20

Ah d'accord mais comment étudier f(p)= (p-p²)/a² ?

Posté par
flight
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 28-05-23 à 22:56

comme ca se fait en première ou en terminal  ( etude de fonction )

Posté par
Albanmaths2
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 29-05-23 à 13:45

Oui mais je ne vois pas comment étudier une fonction, en faisant sa dérivée qui fait intervenir p et a

Posté par
carpediem
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 29-05-23 à 14:56

a est une constante et la variable est p !!

f(p) = (p - p^2)/a^2 a les même variation que la fonction g(x) = x - x^2

et pas besoin de dériver pour étudier ses variations ...

Posté par
Albanmaths2
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 29-05-23 à 18:08

Ah oui très bien j'ai compris je vous remercie donc
x-x^2\geq0 ainsi x appartient à l'intervalle (0;1). Donc sur (0;1) f(p) est croissante et admet pour maximum p=1/2
Donc p=0,5 est la valeur pour laquelle  le majorant de P(∣X−E(X)∣⩾a) obtenu à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est le plus grand.

Posté par
carpediem
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 29-05-23 à 18:23

ce n'est pas f(p) mais f qui est croissante  ... et c'est faux  sur l'intervalle [0, 1] avec des crochets !!

et elle n'admet pas le maximum p = 1/2 mais elle admet un maximum en 1/2 et ce maximum est f(1/2)

Posté par
Albanmaths2
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 29-05-23 à 19:53

Ah oui d'accord très bien merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : inégalité de Bienaymé-Tchebychev 29-05-23 à 20:28

de rien

il faut être beaucoup plus rigoureux dans ton expression ...



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