Bonjour, immortal.

Je note (C1,...,Cn) les colonnes de la matrice A et (e1,...,en) la base orthonormale obtenue à partir de (C1,...,Cn) par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt.

La matrice M de (C1,...,Cn) dans la base (e1,...,en) est triangulaire supérieure, l'élément M_{i,j} étant égal au produit scalaire  (ei|Cj). En particulier le déterminant de M est égal au produit de ses éléments diagonaux, qui est égal au produit des   (ei|Ci) pour i variant de 1 à n.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz:


Donc, la valeur absolue du déterminant de M est inférieure ou égale au produit des normes de Ci.

Or, on sait que la valeur absolue du déterminant de M est égale à la valeur absolue du déterminant de A (la valeur absolue du déterminant d'une famille de vecteurs ne dépend de la base orthonormale dans laquelle on apris leurs coordonnées.

Voilà. C'est terminé.

Merci perroquet!
Tu me sauves la vie.