Bonsoir,
J'ai cherché sur tout le site et les poste anterieurs, mais j'ai pas trouvé comment déduire l'inégalité de Minkowsky a partir de celle de Cauchy-Shwartz sans passer par Holder.
Quelqu'un a t il une idée ?
C'est urgnt SVP
Bonjour,
Dans un espace préhilbertien réel, l'inégalité de Minkowski ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ se déduit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz |〈x,y〉 |≤‖x‖‖y‖ comme suit :
Les deux membres de l'inégalité à démontrer sont positifs, il est donc équivalent à démontrer l'inégalité obtenu en élevant les deux membres au carré, cad :
‖x+y‖^2≤‖x‖^2+‖y‖^2+2‖x‖‖y‖
Ce qui s'écrit aussi : 〈x+y,x+y〉≤‖x‖^2+‖y‖^2+2‖x‖‖y‖,
D'où : ‖x‖^2+‖y‖^2+2〈x,y〉≤‖x‖^2+‖y‖^2+2‖x‖‖y‖
Cad : 〈x,y〉≤‖x‖‖y‖, ce qui et vrai, par l'inégalité de C .S
Bonne réception
Bonjour à tous,
J'ai du mal à saisir comment on peut passer de cela :
D'accord .... si je ne m'abuse grâce à la bilinéarité du produit scalaire, c'est bien cela ?
Merci Luzak
En fait je pars de mon livre où j'ai l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
〈x,y〉2 ≤ 〈x,x〉 〈y,y〉
Pour cette inégalité, je pense avoir saisi la démonstration.
Par contre, je n'arrive pas, à partir de ce présent théorème de mon livre, à "déboucher" sur l'inégalité de Minkowski.
A cette étape de mon livre, la question de norme (euclidienne) n'est pas encore abordée, et l'inégalité de Minkowski n'est pas traitée ni évoque dans mon livre.
Peut-on selon vous, et avec les "seuls" outils en notre possession à cette étape du livre, prouver cette inégalité de Minkowski à partir de celle de Cauchy-Schwarz ?
Bonjour Fractal
En reprenant ce qui a déja été écrit:
Or C.S. dit que:
en fait, comme , C.S. ne dit rien de plus que le fait qu'un cosinus est plus petit que 1 (en valeur absolue)
donc
donc l'inégalité est vraie sans les carrés (ce sont des nombres positifs).
Salut jeanseb, ça faisait longtemps !
Tu vois, je n'ai pas (encore) "laché l'affaire" ...
Je te remercie pour ta réponse, mais si je pars de ce qui est écrit, à savoir :
j'utilise la notion de norme, ce qui n'est pas encore abordée à l'étape où je suis présentement dans mon livre.
Donc est-il possible de découler sur Minkowski sans passer par les normes ?
De quel Minkowski tu parles ? L'inégalité triangulaire pour la norme euclidienne, ou l'inégalité portant sur les sommes, ou bien celle portant sur les intégrales ?
A vrai dire, je navigue à vue ... (je n'ai pas de cours spécifique actuellement, je travaille pour essayer de me familiariser avec les notions d'espace euclidien, et j'ai donc plein de questions, dont certaines n'ont peut-être pas lieu d'être parce que posées tout simplement pas au bon moment).
En effet, si je parle de l'inégalité Minkowski pour la norme euclidienne, alors ma question ci-dessus na aucun sens puisque je parle pour de non utilisation de la norme euclidienne. Pour les 2 autres formes (l'inégalité portant sur les sommes, ou bien celle portant sur les intégrales), je n'en étais pas là.
En fait, voici le fil conducteur d'un cours que j'aurais bientôt, mais pour lequel je n'ai actuellement aucune élément, j'essaye donc simplement de travailler en attendant un polycopié que je n'aurai que dans quelques semaines.
1- Produit scalaire : forme bilinéaire, produit scalaire, espace euclidien, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme, distance, inégalité de Minkowsky
2- Orthogonalité : définition, base orthonormée, procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, applications, projection orthogonale
3- Orientation d'un espace vectoriel, produit mixte, produit vectoriel, volume
4- Isométries, symétries, le groupe orthogonal en dimension 2 et 3
5- Formes hermitiennes, espace préhilbertien complexe, opérateurs adjoints, auto-adjoints et normaux, groupe unitaire SU(2)
Donc actuellement, je n'en suis que là en piochant de gauche et de droite :
1- Produit scalaire : forme bilinéaire, produit scalaire, espace euclidien, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme, distance, inégalité de Minkowsky
2- Orthogonalité : définition, base orthonormée, procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, applications, projection orthogonale
3- Orientation d'un espace vectoriel, produit mixte, produit vectoriel, volume
4- Isométries, symétries, le groupe orthogonal en dimension 2 et 3
5- Formes hermitiennes, espace préhilbertien complexe, opérateurs adjoints, auto-adjoints et normaux, groupe unitaire SU(2)
donc ma question n'a peut-être pas lieu d'être, et regardons à présent les normes et distances avant d'aller rendre visite à Minkowski ...
Oui parce que je vois mal comment on peut parler de Minkowski sans parler de norme. C'est un peu l'intérêt de Minkowski de prouver que certaines normes sont bien des normes, en garantissant l'inégalité triangulaire.
Ok, c'est bon, j'ai compris et ai réalisé la démonstration (avec les normes bien sûr ).
Sincères remerciements à tous pour vos précieuses indications, votre aide et votre patience.
À très bientôt.
En effet, si je parle de l'inégalité Minkowski pour la norme euclidienne, alors ma question ci-dessus na aucun sens puisque je parle pour de non utilisation de la norme euclidienne.
Tu peux t'en sortir en faisant le même raisonnement, et en remplaçant "norme" par "racine carrée du carré scalaire". Tu obtiens Minkowski avec les "racines carrées du carré scalaire", et quand tu auras un autre produit scalaire (par exemple celui sur les intégrales), la démonstration restera valable et donnera une inégalité nouvelle dans le domaine considéré.
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