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Niveau Licence Maths 1e ann
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Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz

Posté par
PDE
08-12-10 à 20:41

Bonsoir,
J'ai cherché sur tout le site et les poste anterieurs, mais j'ai pas trouvé comment déduire l'inégalité de Minkowsky a partir de celle de Cauchy-Shwartz sans passer par Holder.
Quelqu'un a t il une idée ?
C'est urgnt SVP

Posté par
mypb
Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 10-12-10 à 16:46

Bonjour,

Dans un espace préhilbertien réel, l'inégalité de Minkowski ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ se déduit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz |〈x,y〉 |≤‖x‖‖y‖ comme suit :
Les deux membres de l'inégalité à démontrer sont positifs, il est donc équivalent à démontrer l'inégalité obtenu en élevant les deux membres au carré, cad :
‖x+y‖^2≤‖x‖^2+‖y‖^2+2‖x‖‖y‖
Ce qui s'écrit aussi : 〈x+y,x+y〉≤‖x‖^2+‖y‖^2+2‖x‖‖y‖,
D'où : ‖x‖^2+‖y‖^2+2〈x,y〉≤‖x‖^2+‖y‖^2+2‖x‖‖y‖
Cad : 〈x,y〉≤‖x‖‖y‖, ce qui et vrai, par l'inégalité de C .S
Bonne réception

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 09:08

Bonjour à tous,

J'ai du mal à saisir comment on peut passer de cela :

Citation :
se déduit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz |〈x,y〉 |≤‖x‖‖y‖

à cela :
Citation :
en élevant les deux membres au carré, cad :
‖x+y‖^2≤‖x‖^2+‖y‖^2+2‖x‖‖y‖


Si vous pouvez m'éclairer, je vous en saurais gré.

Vous remerciant.

Posté par
WilliamM007
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 09:14

Bonjour,

\Vert x+y\Vert^2=\Vert x\Vert^2+\Vert y\Vert^2+2\langle x,y\rangle
(\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^2=\Vert x\Vert^2+\Vert y\Vert^2+2\Vert x\Vert\Vert y\Vert

Donc
\langle x,y\rangle\le \Vert x\Vert\Vert y\Vert
\iff \Vert x+y\Vert^2\le (\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^2
\iff\Vert x+y\Vert^2\le \Vert x\Vert^2+\Vert y\Vert^2+2\Vert x\Vert\Vert y\Vert

Posté par
luzak
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 09:14

Bonjour !
Parce qu'on a le calcul \lVert x+y\rVert^2=\langle x+y,x+y\rangle=\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2+2\langle x,y\rangle

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 09:17

D'accord .... si je ne m'abuse grâce à la bilinéarité du produit scalaire, c'est bien cela ?
Merci Luzak

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 09:20

Ah zut .... Non en fait, il y a un truc que je ne comprends pas.

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 09:30

En fait je pars de mon livre où j'ai l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
  〈x,y〉2 ≤ 〈x,x〉 〈y,y〉
Pour cette inégalité, je pense avoir saisi la démonstration.
Par contre, je n'arrive pas, à partir de ce présent théorème de mon livre, à "déboucher" sur l'inégalité de Minkowski.
A cette étape de mon livre, la question de norme (euclidienne) n'est pas encore abordée, et l'inégalité de Minkowski n'est pas traitée ni évoque dans mon livre.

Peut-on selon vous, et avec les "seuls" outils en notre possession à cette étape du livre, prouver cette inégalité de Minkowski à partir de celle de Cauchy-Schwarz ?

Posté par
jeanseb
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 09:58

Bonjour Fractal

En reprenant ce qui a déja été écrit:

\lVert x+y\rVert^2=\langle x+y,x+y\rangle=\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2+2\langle x,y\rangle

Or C.S. dit que:

\langle x,y\rangle\le \Vert x\Vert\Vert y\Vert

en fait, comme \langle x,y\rangle= \Vert x\Vert\Vert y\Vert cos (x,y), C.S. ne dit rien de plus que le fait qu'un cosinus est plus petit que 1 (en valeur absolue)

donc \lVert x+y\rVert^2=\langle x+y,x+y\rangle=\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2+2\langle x,y\rangle\le\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2+2\Vert x\Vert\Vert y\Vert= (\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^2

donc l'inégalité est vraie sans les carrés (ce sont des nombres positifs).

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 10:28

Salut jeanseb, ça faisait longtemps !

Tu vois, je n'ai pas (encore) "laché l'affaire" ...

Je te remercie pour ta réponse, mais si je pars de ce qui est écrit, à savoir :
\lVert x+y\rVert^2=\langle x+y,x+y\rangle=\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2+2\langle x,y\rangle
j'utilise la notion de norme, ce qui n'est pas encore abordée à l'étape où je suis présentement dans mon livre.
Donc est-il possible de découler sur Minkowski sans passer par les normes ?

Posté par
WilliamM007
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 10:45

De quel Minkowski tu parles ? L'inégalité triangulaire pour la norme euclidienne, ou l'inégalité portant sur les sommes, ou bien celle portant sur les intégrales ?

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 10:56

A vrai dire, je navigue à vue ... (je n'ai pas de cours spécifique actuellement, je travaille pour essayer de me familiariser avec les notions d'espace euclidien, et j'ai donc plein de questions, dont certaines n'ont peut-être pas lieu d'être parce que posées tout simplement pas au bon moment).
En effet, si je parle de l'inégalité Minkowski pour la norme euclidienne, alors ma question ci-dessus na aucun sens puisque je parle pour de non utilisation de la norme euclidienne. Pour les 2 autres formes (l'inégalité portant sur les sommes, ou bien celle portant sur les intégrales), je n'en étais pas là.

En fait, voici le fil conducteur d'un cours que j'aurais bientôt, mais pour lequel je n'ai actuellement aucune élément, j'essaye donc simplement de travailler en attendant un polycopié que je n'aurai que dans quelques semaines.

1- Produit scalaire : forme bilinéaire, produit scalaire, espace euclidien, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme, distance, inégalité de Minkowsky
2- Orthogonalité : définition, base orthonormée, procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, applications, projection orthogonale
3- Orientation d'un espace vectoriel, produit mixte, produit vectoriel, volume
4- Isométries, symétries, le groupe orthogonal en dimension 2 et 3
5- Formes hermitiennes, espace préhilbertien complexe, opérateurs adjoints, auto-adjoints et normaux, groupe unitaire SU(2)

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 10:59

Donc actuellement, je n'en suis que en piochant de gauche et de droite :

1- Produit scalaire : forme bilinéaire, produit scalaire, espace euclidien, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme, distance, inégalité de Minkowsky
2- Orthogonalité : définition, base orthonormée, procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, applications, projection orthogonale
3- Orientation d'un espace vectoriel, produit mixte, produit vectoriel, volume
4- Isométries, symétries, le groupe orthogonal en dimension 2 et 3
5- Formes hermitiennes, espace préhilbertien complexe, opérateurs adjoints, auto-adjoints et normaux, groupe unitaire SU(2)

donc  ma question n'a peut-être pas lieu d'être, et regardons à présent les normes et distances avant d'aller rendre visite à Minkowski ...

Posté par
WilliamM007
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 11:05

Oui parce que je vois mal comment on peut parler de Minkowski sans parler de norme. C'est un peu l'intérêt de Minkowski de prouver que certaines normes sont bien des normes, en garantissant l'inégalité triangulaire.

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 11:09

Merci WilliamM007, on ne prend pas toujours le bon chemin ...

Posté par
Fractal
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 12:19

Ok, c'est bon, j'ai compris et ai réalisé la démonstration  (avec les normes bien sûr ).

Sincères remerciements à tous pour vos précieuses indications, votre aide et votre patience.
À très bientôt.

Posté par
jeanseb
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 16:36

En effet, si je parle de l'inégalité Minkowski pour la norme euclidienne, alors ma question ci-dessus na aucun sens puisque je parle pour de non utilisation de la norme euclidienne.

Tu peux t'en sortir en faisant le même raisonnement, et en remplaçant "norme" par "racine carrée du carré scalaire". Tu obtiens Minkowski avec les "racines carrées du carré scalaire", et quand tu auras un autre produit scalaire (par exemple celui sur les intégrales), la démonstration restera valable et donnera une inégalité nouvelle dans le domaine considéré.

Posté par
WilliamM007
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 17:06

Si on ne fait pas le lien avec les normes, l'inégalité perd vraiment tout son intérêt.

Posté par
jeanseb
re : Inégalité de Minkowski deduite de Cauchy-Schwarz 23-08-17 à 17:35

De toute manière, vu qu'on utilise le produit scalaire, la norme vient automatiquement juste après. Une norme quelconque.



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