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inégalité de nombre

Posté par
philou28 30-01-17 à 21:03

Bonjour
je me pose une question :
pour tout nombre a, b et c positif, j'ai démontré que a3+b3+c3 >=3abc
mais si le produit abc est égale à 1 comment prouvé que a+b+c>3

Merci pour votre aide

Posté par
lakere : inégalité de nombre 30-01-17 à 23:11

Bonsoir,

(a+b+c)^3=\underbrace{a^3+b^3+c^3}_{\geq 3abc}+6abc+3abc\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right) (vérifie)

(a+b+c)^3\geq 9abc+3abc\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)

Or pour x>0, x+\dfrac{1}{x}\geq 2 (à prouver éventuellement)

Donc la parenthèse est supérieure ou égale à 6

et (a+b+c)^3\geq 27 abc=27

  a+b+c\geq 3

Posté par
caritare : inégalité de nombre 30-01-17 à 23:17

bonsoir

sous réserve de confirmation

on pose  :
x = \sqrt[3]{a}      y = \sqrt[3]{b}     z = \sqrt[3]{c}  

on a donc
x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3xyz \\ x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3 \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} \sqrt[3]{c} \\ x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3 \sqrt[3]{abc} \\

or si  abc=1,   \sqrt[3]{abc} = 1

x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3

et comme  a = x^3,  b = y^3,  c = z^3

il s'ensuit que   a+b+c \geqslant 3

Posté par
caritare : inégalité de nombre 30-01-17 à 23:19

bonsoir lake
oups, j'ai dû dire une bêtise, ma réponse n'a rien à voir avec la vôtre  :/
je m'éclipse.

Posté par
lakere : inégalité de nombre 30-01-17 à 23:21

Mais non carita!

Ta solution est bien meilleure et plus simple que la mienne!

Posté par
caritare : inégalité de nombre 30-01-17 à 23:23

ah bon ?? je n'en reviens pas !
merci

Posté par
lakere : inégalité de nombre 30-01-17 à 23:23

J' y suis allé comme un gros bourrin!

Posté par
philou28re : inégalité de nombre 30-01-17 à 23:38

J'aime bien la réponse de carita...

Merci à tout les deux.
Mais lake fallait y penser, j'ai du mal à penser a ces développements, ce n'est pas intuitif pour moi


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