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inégalité de recherche

Posté par
Dexter2017 05-08-16 à 12:11

Bonjour,
Quelqu'un pourrait me donner un  tuyau pour cette inégalité :
x,y,z sont des réels strictement positifs. Montrer que
x^4y +y^4z + z^4x + xyz(x^3+y^3+z^3)  \ge  (x+y+z)(3xyz-1)

C'est une inégalité de niveau olympiade (de recherche) , on peut alors songer à utiliser des inégalités classiques du types : moyennes, réordonnement, Caushy-Shwarz,inégalité de convexité...

Pour ce qui est de mon coté, j'en suis au résultats suivants :
Le cas d'égalité étant vérifié pour le triplet : (x,y,z)=(1,1,1), j'ai essayé de construire des inégalités qui mènent à l'égalité des variables combinées à des inégalités où le cas d'égalité est vérifié en 1, mais sans résultats probants :
J'ai essayé par exemple de réduire le membre de gauche ( le majorant) à un polynôme du second degré  à travers l'inégalité x^4 \ge 2x^2-1 ( cas d'égalité en 1) afin d'équilibrer les degrés dans les 2 membres et qui sait aboutir à l'étude d'un trinôme en x.  ça reste une piste stérile qui donne lieu à des études laborieuses et du tout pas élégante.

Pouvez-vous m'éclairer car je sèche complètement.

PS : Etant donné la nature de l'inégalité, des inégalités cocycliques ou homogènes serait judicieuses mais je ne maîtrise pas trop le principe, donc on pourrait éviter de les utiliser lors de la démonstration.
Merci, pour vos contributions.

Posté par
alainpaulre : inégalité de recherche 06-08-16 à 12:20

Bonjour,

L'inégalité est donc vérifiée pour x\times y\times z \in]0,\frac{1}{3}]

Je tente autre chose,

Alain

Posté par
Dexter2017re : inégalité de recherche 06-08-16 à 14:12

Désolé, mais je ne vois pas ce que tu veux dire par x \times y \times z\in]0,\frac{1}{3}] car l'inégalité peut être vérifiée même pour le triplet (x,y,z) =(5,5,5) par exemple.
L'énoncé du problème est correct ( me je l'ai  recopié fidèlement de sa source).

J'ai une autre piste : pourquoi ne pas chercher à exprimé la différence en somme de carrés ?

Posté par
alainpaulre : inégalité de recherche 06-08-16 à 16:12

Bon après-midi,

Bien sûr,mais nous avons jusqu'à présent montré que l'inégalité tenait pour le triplet {1,1,1}  et les triplets (x,y,z) | x\times y \times z \in ]0,\frac{1}{3}]  

Je continue donc  ma recherche,

Alain

Posté par
Dexter2017re : inégalité de recherche 08-08-16 à 20:00

Je ne trouve toujous pas comment proceder, si vous trouver quelque chose faisait signe. Je suis encore sur le coup

Posté par
alainpaulre : inégalité de recherche 11-08-16 à 11:20

Bonjour,

Une égalité:

3xyz =(x^3+y^3+z^3)-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

...

Alain

Posté par
alainpaulre : inégalité de recherche 18-08-16 à 11:13

Bonjour,

Etudier l'autre  cas  3xyz >1   ,le rôle des variables étant le même ,nous pouvons donc poser:x >\frac{1}{ \sqrt[3]{3}}    et examiner notre inéquation pour x=0,7 ; 1 ...

Alain

Posté par
jarod128re : inégalité de recherche 21-07-20 à 17:39

Bonjour,
je "remonte" cette exercice que j'avais laissé dans mes favoris et dont j'aurais bien voulu une démonstration.
Partant pour s'y frotter?

Posté par
jarod128re : inégalité de recherche 20-11-20 à 23:10


Toujours personne ?

Posté par
jarod128re : inégalité de recherche 22-02-23 à 15:53

Grâce à Gilles Bailly-Maitre  et un de ses collègues, je donne ici une solution:
Par concavité de la fonction ln on a pour xi et  \alpha_i strictement positifs avec la somme des \alpha_i=1   pour i allant de 1 à n :
\ln \left(\sum_{i=1}^{n}{\alpha_ix_i} \right)\geq \sum_{i=1}^{n}{\alpha_iln(x_i)}
en prenant l'exponentielle, on obtient:
\sum_{i=1}^{n}{\alpha_ix_i}\geq \prod_{i=1}^{n}{x_i^{\alpha_i}}
Avec les coefficients \alpha_i=\frac{1}{3}, \frac{1}{9},\frac{1}{9},\frac{1}{9},\frac{1}{3} on a donc pour tout x,y,z >0
\frac{1}{3}x^4y+\frac{1}{9}x^4yz+\frac{1}{9}y^4zx+\frac{1}{9}z^4xy+\frac{1}{3}z\geq x^{\frac{4}{3}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}y^{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}z^{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{3}}=x^2yz (E1)
Par permutation x-> y -> z -> x, on obtient (E2) puis (E3) que je n'écris pas là.
On a alors en prenant 3\times (E1+E2+E3) :
x^4y+y^4z+z^4x+x^4yz+y^4zx+z^4xy+(x+y+z)\geq 3xyz(x+y+z) equivalent au problème posé


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