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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Inégalité de Tchebychev

Posté par
Carnaval
23-04-21 à 21:28

Bonjour,  je ne parviens pas à obtenir les résultats de correction de mon enseignant

On dispose de n=100 observations indépendantes x1,..,xn d'un phénomène de moyenne u inconnue et d'écart type = 4.
On suppose que Somme des xj allant de j=1 à 100 est égale à 200.
En appliquant l'inégalité de Tchebytchev à l'estimateur Xn barre, déterminer un intervalle de confiance pour u de niveau supérieur ou égal à 90%

Voici la réponse en question (donnée dans la correction)
= [0,74;3,26]

J'ai beau faire et refaire la démonstration à l'aide du cours, je ne parviens pas à obtenir ces résultats.. Merci d'avance

Posté par
phyelec78
re : Inégalité de Tchebychev 23-04-21 à 23:52

Bonsoir,

voici la formule que j'utilise :

I=[m -\dfrac{c \sigma}{\sqrt{n}},m +\dfrac{c \sigma}{\sqrt{n}}]=[a1,a2]

n=100

m=200/100=2

\sigma=4

\alpha=90/100=0,9

c=\sqrt{\dfrac1{(1-\alpha}}=3,1622777

I=[a1,a2]
a1=m-\sigma*c/10= 0,7350889
a2=m+\sigma*c/10= 3,2649111
ce qui correspond au résultat de la correction.

Posté par
carpediem
re : Inégalité de Tchebychev 24-04-21 à 09:59

salut

j'y vois plutôt un intervalle de confiance ... et tuas donc juste appliqué une formule ...

pourquoi parler de l'inégalité de Tchebychev ?

Posté par
phyelec78
re : Inégalité de Tchebychev 24-04-21 à 11:48

@carpediem, parce l'intervalle de confiance peut se définir via  l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

https://webusers.imj-prg.fr/~mathieu.mansuy/pdf/MM0804-cours6.pdf

Posté par
carpediem
re : Inégalité de Tchebychev 24-04-21 à 12:11

ok merci

Posté par
Carnaval
re : Inégalité de Tchebychev 24-04-21 à 12:47

Bonjour, merci pour votre réponse
je ne vois pas le lien entre la formule que vous utilisez pour trouver les résultts et la formule de l'ineg de Tchebytchev malgrés l'url que vous avez partagé
Pouvez - vous m'éclairer davantage à ce sujet svp?

Posté par
alb12
re : Inégalité de Tchebychev 24-04-21 à 15:06

salut,
Soit X la moyenne des Xi
On a  E(X)=\mu et V(X)=\dfrac{\sigma^2}{n}
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'ecrit:


 \\ P(|X-\mu|\leqslant\alpha)\geqslant1-\dfrac{V(X)}{\alpha^2}
 \\

On veut  1-\dfrac{V(X)}{\alpha^2}=0,9  ce qui donne \alpha=\dfrac{\sigma}{\sqrt{0,1\times n}}

Posté par
Carnaval
re : Inégalité de Tchebychev 24-04-21 à 17:01

En isolant a dans  1 - V(x)/a^2 = 0,9
je trouve a = écart type / racine de 0,1

Je ne sais pas comment vous trouvez le * n  au dénominateur

Posté par
phyelec78
re : Inégalité de Tchebychev 24-04-21 à 19:25

revenons aux données de votre exercice :
"On dispose de n=100 observations indépendantes x1,..,xn d'un phénomène de moyenne u inconnue et d'écart type = 4.
On suppose que Somme des xj allant de j=1 à 100 est égale à 200."

j'appelle S  la Somme des xj allant de j=1 à 100 , on a donc :

S=\sum_{j=1}^{100} x_j=200

soit X l'échantillon (x1,..,xn) , sa moyenne est u=\bar X=\dfrac 1n\sum_{j=1}^{100} x_j= \dfrac 1n\sum_{j=1}^{100} E(x_j)=\dfrac 1n S=\dfrac{200}{100}=2


la variance V(\bar X)=V(\dfrac 1n\sum_{j=1}^{100}x_j)=\dfrac 1{n^2} V(\sum_{j=1}^{100}x_j)=\dfrac 1{n^2} \sum_{j=1}^{100}V(x_j)=\dfrac {n \sigma^2}{n^2}=\dfrac {\sigma^2}{n}

car les observations sont indépendantes et donc V(x_1)=V(x_2)=......=V(x_{100})=\sigma^2

Posté par
Carnaval
re : Inégalité de Tchebychev 24-04-21 à 21:13

Merci beaucoup j'ai compris



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