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Inégalité de Tchebychev

Posté par
aya4545 14-12-21 à 12:09

bonjour
merci de me donner une idée pour aborder b) la question a) est evidente
Soient f et g deux fonctions continues et croissantes
de [0, 1] dans R.
a) Pour (x, y) de [0, 1]², quel est le signe de (f(y) − f(x)) (g(y) − g(x)) ?
b) En déduire que  \int_{0}^1 f(x)g(x)dx\geq\int_{0}^1 f(x)dx .\int_{0}^1 g(x)dx

Posté par
Glapion Moderateurre : Inégalité de Tchebychev 14-12-21 à 13:28

Bonjour,
Développe (f(y) - f(x)) (g(y) - g(x)) 0 et prends l'intégrale double de chaque coté en faisant varier
x et y entre 0 et 1.

Posté par
lionel52re : Inégalité de Tchebychev 14-12-21 à 13:32

Hello un peu difficile pour de la terminale. Tu peux développer et intégrer par rapport à x sur [0,1] puis par rapport à y sur [0,1]

Posté par
Glapion Moderateurre : Inégalité de Tchebychev 14-12-21 à 13:35

oui, tu as raison, ne parlons pas d'intégrale double, intégrer d'abord par rapport à x puis intégrer à nouveau par rapport à y revient au même (fubini).

Posté par
aya4545re : Inégalité de Tchebychev 14-12-21 à 14:44

salut
(f(y) - f(x)) (g(y) - g(x)) \geq  0 donc     f(x)g(x) + f(y)g(y) \geq \\ f(x)g(y)+g(x)f(y)  en integrant par rapport à x puis par rapport à y  j obtient   d une part
f(y)g(y) +  \int_{0}^{1} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t  \geq f(y)\int_{0}^{1} g(t) \, \mathrm{d}t  \  + g(y)\int_{0}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t  \
d autre part
f(x)g(x) +  \int_{0}^{1} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t  \geq f(x)\int_{0}^{1} g(t) \, \mathrm{d}t  \  + g(x)\int_{0}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t  \
j ai posé   x=y mais je suis toujours bloquée

Posté par
lakere : Inégalité de Tchebychev 14-12-21 à 15:44

Bonjour,

C'est dans ta première inégalité :

Citation :
f(y)g(y) +  \int_{0}^{1} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t  \geq f(y)\int_{0}^{1} g(t) \, \mathrm{d}t  \  + g(y)\int_{0}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t  \


qu'il faut maintenant intégrer par rapport à y

Posté par
aya4545re : Inégalité de Tchebychev 14-12-21 à 17:11

salut
merci lake   lionel52    et Glapion  j ai reussi a demonter mon inégalité


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