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Inegalité des accroissements finis vectorielle

Posté par
ZiYun
24-02-18 à 21:49

Bonsoir,

En travaillant les fonctions vectorielles, je bloque sur un exercice qui montre une inégalité qui ressemble a l'inégalité des accroissements finis.
On considère un espace vectoriel normé de dimension finie E, et f une fonction définie sur le segment [a,b] à valeurs dans E, et g une fonction définie sur le segment [a,b] à valeurs dans , où a,b et a<b. On suppose que pour tout t[a,b] \parallel f'(t)\parallel \leq g'(t). Soit >0 et : A={x[a,b] ; t[a,x] , \parallel f(t)-f(a)\parallel \preceq g(t)-g(a)+\varepsilon (b-a)}
Il est demandé de montrer en première question que cet ensemble est fermé.
J'essaie d'utiliser le cours de topologie et d'écrire l'ensemble comme image réciproque d'un fermé par une fonction continue mais je n'y arrive pas (ce qui m'incite à chercher cela c'est la continuité de f et g, mais encore il faut écrire A comme {x ; h(x) à un fermé } , or les écritures en f et g ne font pas intervenir x ni les inégalités n'induisent un ensemble fermé )

J'espère que vous pourrez m'aider afin d'avancer et de montrer cette fameuse inégalité.

Merci d'avance

Posté par
jsvdb
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 24-02-18 à 23:40

Bonjour ZiYun.

On peut considérer M_\varepsilon = \sup A_\varepsilon.
On vérifie alors que pour tout t \in [a;M_\varepsilon[, on a || f(t)-f(a)|| \leq g(t)-g(a)+\varepsilon (b-a).
Du coup, par continuité de la norme, de f et de g, on conclura que cette inégalité reste vraie pour M_\varepsilon.
On pourra alors affirmer que A_\varepsilon est fermé.
Bien entendu, il faut rédiger tout cela convenablement.

Posté par
luzak
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 25-02-18 à 15:19

Bonjour !
Tu suis les indications de jsvdb (que je salue) mais tu n'oublies pas de "démontrer" l'existence la borne supérieure...

Posté par
jsvdb
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 25-02-18 à 18:03

Oui, cela fait rédhibitoirement partie d'une rédaction convenable 😇

Posté par
ZiYun
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 27-02-18 à 18:57

Bonjour,

Je vous remercie pour votre réponse.
J'ai essayé de rédiger la réponse mais je bloque à la fin :
A est non vide car aA et il est majoré par b donc il admet une borne suppérieure qu'on note M.  On a si x, et y tel que xy appartiennet à A , on a aisément que [x,y]A ( car en prenant un élément z du segment, on a évidemment pour tout t[a,z] l'inégalité précédente, car [a,z][a,y] ) ainsi A est convexe, donc c'est un intervalle puisque c'est une partie de , et vu qu'elle est bornée alors il est du type ],M[ ou [,M] ( où est la borne inférieure qu'on montre par même raisonnement que la borne supérieure). De cette façon on a pour tout t[a,M[ : \parallel f(t)-f(a)\parallel \leq g(t)-g(a)+\varepsilon (t-a).
En prenant une suite (xn) de A qui tend vers M on a pour tout tn dans [a,xn] l'inégalité précédente, c'est là que je ne peux pas continuer, on peut pas simplement tendre n vers l'infini à cause des (tn) dont on ne connaît pas la nature.

J'espère que vous m'aiderez encore une fois afin d'achever cet exercice.

Merci d'avance

Posté par
luzak
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 27-02-18 à 19:00

Tu supposes simplement que M_{\varepsilon}<b et tu utilises la dérivabilité à droite en M_{\varepsilon} pour obtenir une contradiction : du genre, il y a un point strictement supérieur à  M_{\varepsilon} qui est dans  A_{\varepsilon}

Posté par
ZiYun
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 27-02-18 à 23:27

Bonsoir,

Je ne comprends pas où vous voulez en venir. Si on établit une contradiction en supposant que M<b alors on aurait : Mb. Dans ce cas M=b puisque b est un majorant.  Et on a pas bA pour conclure que A est un fermé.

Posté par
jsvdb
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 27-02-18 à 23:45

Je ne vois pas où il est nécessaire de mettre en place un raisonnement par l'absurde.
Que A_\varepsilon soit connexe et que sont sup existe sont quasi évidents.
La seule question en suspens est : cet ensemble contient-il son sup ? Et c'est l'objet de la question; montrer qu'il est fermé revient à montrer qu'il contient son sup.
Il suffit de prendre une suite (bien choisie) qui tend vers M_\varepsilon (le bon choix passera donc par des valeurs inférieures à M_\varepsilon ) et d'utiliser les continuité de la norme, de f et de g. Les inégalités passent alors à la limite et le tour est joué.

Citation :
En prenant une suite (x_n)_n de A_\varepsilon qui tend vers M_\varepsilon (par valeurs inférieures) on a pour tout n\in \N, \parallel f(x_n)-f(a)\parallel \leq g(x_n)-g(a)+\varepsilon (x_n-a).

Tu passes à la limite par continuité et donc \parallel f(M_\varepsilon)-f(a)\parallel \leq g(M_\varepsilon)-g(a)+\varepsilon (M_\varepsilon-a) et M_\varepsilon \in A_\varepsilon. A_\varepsilon est donc fermé.

Posté par
luzak
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 28-02-18 à 09:03

Mon indication (par l'absurde) concernait la démonstration de M_{\varepsilon}=b : je croyais la question de "fermé" réglée tant elle est évidente...

Posté par
ZiYun
re : Inegalité des accroissements finis vectorielle 01-03-18 à 01:34

Je vous remercie pour vos réponses jsvdb et luzak.  Donc pour résumer les étapes pour aboutir à l'inégalité des accroissements finies selon ces hypothèses. On montre que A est connexe pour le montrer fermé en utilisant une suite qui tend vers sa borne supérieure. On montre ensuite par l'absurde que la borne supérieure est b. Et on procède de la même manière pour montrer que la borne inférieure est a.  On a ainsi A=[a,b] pour tout >0 , on en déduit l'inégalité des accroissements finies.



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