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Inégalité et intégrale
Bonsoir,
Besoin d'aide pour cet exercice:
Montrer que pour tout x>1 ,
où
.
Je voudrais utiliser l'inégalité de la moyenne en encadrant la fonction t→lnt/(1+t²) dans l'intervalle [1;x] ...mais je n'aboutis à rien d'important.
Bonjour,
Autre approche.
Pour l'inégalité de droite, tu peux remarquer que sur l'intervalle considéré,
Pour celle de gauche, dans le même ordre d'idée, tu peux majorer par
A gauche, 1+ t²≤2
soit 2lnt≤ lnt/(1+ t²)≤ lnt/t²
on peut' donc intégrer chaque membre de l'inégalité ?
on avait à droite lnt/(1+t²) ≤lnt/t².
Pour t appartenant à [1;x]
t²≥1 <=> 2t²≥1+t² <=> 1/2t² ≤1/(1+t²)
la fonction t→lnt étant positive et croissante dans [1;+∞[ on a :
lnt/2t²≤lnt/(1+t²);
on déduit à l'inégalité de départ que
lnt/2t²≤lnt/(1+t²)≤lnt/t²
En intégrant chaque membre sur [1;x] et en identifiant la dérivée de w , on trouve bien le résultat.
C'est bien.
Tu as rectifié, mon erreur d'hier soir quant à l'inégalité de gauche. Je ne sais pas pourquoi en cours de route j'ai dérapé. La vieillesse...
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