Niveau Maths sup

inegalite integrale

Posté par
Yosh2 12-05-21 à 16:47

bonjour
soit f continue et positive sur [0, 1] , on pose A = $\int_{0}^{1} f(t) dt$
mq $\sqrt{1+A^2} <= \int_{0}^{1}\sqrt{1+f(t)^2} dt <= 1+A$
j'arrive a montrer l'inegalite de gauche en utilisant la convexité de la fonction $\sqrt{1+x^2}$ (dérivé seconde positive ) , pour inégalité de droite j'ai pense a comparer leur carre pour faire apparaitre inégalité de Cauchy Schwartz , ou bien utiliser la convexité de x^2 ( ce qui revient au meme) j'obtiens $(\int_{0}^{1}\sqrt{1+f(t)^2} dt)^2 <= 1+\int_{0}^{1}f(t)^2 dt$ et $(1+A)^2 = 1+2 \int_{0}^{1}\f(t) dt + (\int_{0}^{1}f(t) dt )^2 <= 1+2 \int_{0}^{1}\f(t) dt +\int_{0}^{1}f(t)^2 dt$
pouvez m'aider pour cet exo ?
merci a vous

Posté par re : inegalite integrale 12-05-21 à 17:01

Bonjour,

Pas besoin de chercher si loin. Il suffit d'utiliser la croissance de l'intégrale.

Posté par re : inegalite integrale 12-05-21 à 17:02

Bonjour,

$f$ étant positive, $1+f(t)^2\leq1+2f(t)+f(t)^2$

Posté par re : inegalite integrale 12-05-21 à 17:43

bonjour,

en effet en rentrant le 1 dans l'intégrale et en utilisant la croissance , on trouve le résultat , ça m'avait totalement échappé ^^.
merci a vous

Posté par re : inegalite integrale 12-05-21 à 17:50

De rien

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