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inégalité isopérimétrique
Bonjour, dans le cadre d'un dm sur l'inégalité isopérimétrique je dois montrer le résultat suivant:
Soit Z un polygone d'affixe noté z0, ... , z(n-1) de périmètre 1 et dont la somme des affixes vaut zéro.
Montrer que Z est contenu dans le disque centré en 0 de rayon 1/2.
Intuitivement je pense avoir une idée, si il y avait une affixe en dehors de ce disque, sachant que le "centre de gravité" c'est l'origine du plan complexe, on doit pouvoir tomber sur une absurdité par apport au périmètre. Cependant je n'arrive pas à venir bout de cette question.
Bonjour,
Quelques indices.
* L'idée de départ me semble OK.
* Quitte à faire tourner le polygone par rapport à (0,0), on peut dire que le point extérieur au disque a pour affixe (x, 0) avec x>1/2, sans perte de généralité.
* Il existe donc des points dont la partie réelle est négative car la somme des affixe vaut 0 ... étudie séparément le cas "1 unique point" et le cas "au moins 2 points".
Bon courage
Bonjour à vous deux,
thetapinch27, bienvenue à toi 
Puis-je te demander de renseigner ton profil (en allant dans Mon compte / mon profil). Nous le demandons à tout le monde et il est légitime pour ceux qui reçoivent de l'aide de savoir un peu qui les a conseillés.
Je te remercie
Bonjour,
Puisque le demandeur s'est désinscrit, je me permets de polluer le sujet.
Je me trompe sans doute, mais il me semble que l'inégalité isopérimétrique n'est pas nécessaire.
Quand un polygone a pour périmètre p, tout triangle défini par trois de ses sommets a un périmètre inférieur ou égal à p.
Avec l'indication de thetapinch27 :
A un sommet d'affixe réelle a avec a > 1/2.
Il existe au moins un sommet B dont la partie réelle de l'affixe est négative car la somme des affixe vaut 0.
On a alors AB > 1/2.
N'importe quel autre sommet C vérifie AC + CB 
AB ; donc AC + CB + AB > 1.
merci Sylvieg tout simplement ...
j'avais une idée du même genre en tête (avec l'inégalité triangulaire qui me semblait évidente à utiliser) mais je ne voyais pas comment le formaliser et surtout j'étais parti avec tous les points alors que trois suffisent
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