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Niveau Maths sup
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inégalité large qui devient stricte

Posté par
lemmouchia
24-06-18 à 22:14

Bonjour,

il y a une subtilité dans un exercice que je ne comprend pas.

Je dois déterminer la fonction de répartition de X_n définie pour tout n par P(X_n=1/n)=1  et probabilité nulle ailleurs (mesure de dirac en 1/n).

Je trouve sans trop de difficultés.
P(X_n \le x) = 0 si x<1/n et 1 si x \ge 1/n

En passant à la limite on me dit que cela tend vers la fonction indicatrice de l'intervalle ]0; +[

Ce qui m'étonne c'est le 0 exclu, en effet, cela veut dire qu'en passant à la limite:

x \ge 1/n devient x>0 lorsque n tend vers l'infini.

Donc une inégalité large qui devient stricte. Est-ce normal ?

Merci !

Posté par
Schtromphmol
re : inégalité large qui devient stricte 24-06-18 à 22:22

Bonsoir,

Réfléchis point par point, pour tout n, P(X_n<=0) = 0, et quand a > 0, P(X_n<=a) finit par être égal à 1.

Posté par
lemmouchia
re : inégalité large qui devient stricte 24-06-18 à 22:33

Bonsoir,

oui je suis tout à fait d'accord. On peut toujours raisonner différemment et voir que ça marche, mais ça n'explique pas pourquoi mon raisonnement initial était faux, et c'est ça que j'aimerais comprendre. En effet, passer à la limite la fonction de répartition revient à passer à la limite dans les inégalités. Or dans mon cours d'analyse je vois que si (u_n) et (v_n) sont deux suites qui vérifient à partir d'un certain rang u_n \ge v_n, alors  l \ge l'  où l et l' sont les limites respectives de u_n et v_n.

En appliquant ce résultat pour un v_n=x, en passant à la limite, j'aurais dû conserver l'inégalité large...

Je sens qu'il y a une erreur flagrante sous mes yeux que je ne vois pas...

Posté par
Schtromphmol
re : inégalité large qui devient stricte 24-06-18 à 22:37

C'est parce que x là tu suppose que x est plus grand que tous les 1/n, le passage à la limite te donne bien que x >= 0 mais ce n'est pas le bon raisonnement pour calculer la limite simple (limite point par point) d'une suite de fonctions.

Posté par
etniopal
re : inégalité large qui devient stricte 25-06-18 à 08:48

Je ne connais guère de VAR vérifiant P[X = 1/n] = 1 pour tout entier n > 0 .

Posté par
etniopal
re : inégalité large qui devient stricte 25-06-18 à 08:51

Mes excuses , il y a une suite  n Xn de Var , chacune étant P-ps constante .



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