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Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1)

Posté par
Nadd 06-11-14 à 20:56

Salut :3
J'ai quelques difficultés à résoudre cet exercice :/, donc je me tourne vers vous (Un indice s'il vous plait ) :


Énoncé
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
Soit a_1, a_2, . . . , a_n des nombres réels strictement positifs dont le produit est 1.

Montrer que:
\dfrac{a_1}{a_1+1}+\dfrac{a_2}{(a_1+1)(a_2+1)}+\dfrac{a_3}{(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)}+...+\dfrac{a_n}{(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)....(a_n+1)} \geq \dfrac{2^n-1}{2^n}
__________________________________________________________________________________________________________________________________________


Ce que j'ai fait:

J'ai pu prouver que:

\dfrac{a_1}{a_1+1}+\dfrac{a_2}{(a_1+1)(a_2+1)}+\dfrac{a_3}{(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)}+...+\dfrac{a_n}{(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)....(a_n+1)}=1-\dfrac{1}{(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)....(a_n+1)}

Donc il me reste à prouver que :

(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)....(a_n+1) \geq 2^{n}

Mais je ne vois pas trop comment.

Merci d'avance .

Posté par
Naddre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 09:45

Up [url][/url]

Posté par
LeHiboure : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 10:11

Bonjour,

Par récurrence ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 11:04

Bonjour,

Soit S=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1)

En factorisant a_1a_2\cdots a_n=1, on obtient:

S=\left(1+\dfrac{1}{a_1}\right)\left(1+\dfrac{1}{a_2}\right)\cdots \left(1+\dfrac{1}{a_n}\right)

Du coup S^2=(a_1+1)\left(1+\dfrac{1}{a_1}\right)(a_2+1)\left(1+\dfrac{1}{a_2}\right)\cdots (a_n+1)\left(1+\dfrac{1}{a_n}\right)

S^2=\left(2+a_1+\dfrac{1}{a_1}\right)\left(2+a_2+\dfrac{1}{a_2}\right)\cdots \left(2+a_n+\dfrac{1}{a_n}\right)

Or pour tout x>0, x+\dfrac{1}{x}\geq 2 (à prouver éventuellement)

Donc chaque parenthèse est supérieure à 2^2:

S^2\geq 2^{2n}

Donc S\geq 2^n

Posté par
Naddre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 11:26

Aie aie aie !
Je deviens de plus en plus bête. x)

Pour n=1
a_1=1  et  a_1+1=2 (c'est bon)
a_2=(a_1+1)(1/a_1 +1)=a_1+2+1/a_1 \geq 2² (c'est bon)
pour n
(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)>=2^n et
(a_1+1)(a_2+1)...(a_{n-1}+1)>=2^{n-1}

Pour a_{n+1}=1

(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)(a_{n+1}+1)=2^{n+1} c'est bon

Pour a_{n+1}>1

on change un terme (disons a_n en 1/a_{n+1})
(a_1+1)(a_2+1)...(a_{n-1}+1)>=2^{n-1}
1/x+x+2>=2²
donc
(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)(a_{n+1}+1)>=2^{n+1}

Je pense pas que ce soit juste :/ j'y arrive pas ...

Posté par
Naddre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 11:26

Oups j'ai passé mon temps à écrire x)

Posté par
Naddre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 11:27

Merci cailloux !!

Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 11:29

De rien Nadd

Posté par
Glapion Moderateurre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 11:32

ha oui, bien vu cailloux , j'avais cherché et pas trouvé.

Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 07-11-14 à 11:51

Bonjour Glapion et merci!

Mais j' y ai passé du temps; au début comme toi:

Citation :
j'avais cherché et pas trouvé.


Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 09-11-14 à 22:02

Autre solution un peu plus orthodoxe:

D' après l' inégalité arithmético-géométrique qui stipule que pour n réels positifs a_1,a_2,\cdots a_n, on a:

\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}, on peut écrire:

1+a_1\geq 2\sqrt{a_1}

1+a_2\geq 2\sqrt{a_2}

\vdots\qquad\vdots

1+a_n\geq 2\sqrt{a_n}

Reste à effectuer le produit de ces n inégalités:

(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)\geq 2^n

Posté par
lafol Moderateurre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 09-11-14 à 22:12

Bonjour
pas besoin de l'inégalité arithmético géométrique ici, la bonne vieille identité remarquable "carré d'une différence" appliquée à \left(1 - \sqrt{a_i}\right)^2\geq 0 suffit bien

Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 09-11-14 à 22:27

Ah oui! Le marteau pilon pour écraser une mouche!

Bonsoir lapasifol

Posté par
lafol Moderateurre : Inégalité ( n nombres réels donc le produit=1) 09-11-14 à 22:51

bonsoir stone


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