Bonjour dodo7005

Tu t'es inscrit sous le profil 2nde... pourquoi postes tu systématiquement au niveau 4e ?

Bonjour,
Le 2/9 vient sans doute de ce cas particulier :
Si x² = y² = 1/3 et xy < 0
alors x² + y² - xy = ...
et x⁴ + y⁴ = ...

As-tu réussi à démontrer x⁴ + y⁴ < 8 ?

malou

Sylvieg

bonjour tout le monde,
j'ai trouvé un recueil de problèmes olympiades collège et il y en a qqs uns que je n'arrive pas à résoudre.

Sylvieg  oui j'ai montré l'inégalité en question.

Je déplace ton sujet dans le forum détente.
Je te conseille d'y poster désormais tes exercices d'olympiades, en précisant ton niveau et celui de l'exercice dans ton message.

Bonjour

En posant y=tx on est amené à étudier la fonction dont la dérivée a 4 racines évidente .

Imod

Bravo Imod !
Bonne idée de faire un quotient.
Il me semble que la dérivée de f a 2 racines évidentes, dont l'une est triple.

Je tente de traduire niveau collège :
On a 1 < A < 2 et on cherche à encadrer B = x⁴ + y⁴.

On s'occupe d'abord du cas x = 0.

Pour x non nul, on transforme B/A² en y faisant apparaître t = y/x.
On démontre que B/A² est compris entre 2/9 et 2.
Ça doit pouvoir se faire sans dérivée.

Etant donné le peu de pratique des inégalités au niveau collège , rendre la solution compréhensible par un collégien me semble très ambitieux . Par un élève de seconde ne connaissant pas la dérivée , pourquoi pas ?

Imod

C'est un sujet d'olympiades...

Olympiades , ça ne veut plus rien dire , il y a des olympiades de tout et souvent de n'importe quoi

Imod

Bonjour,
ce n'est vraiment pas du niveau quatrième !
Pour l'une des inégalités ce n'est pas très compliqué car de on déduit :



Pour l'autre c'est beaucoup plus difficile :

on montre d'abord que car c'est équivalent à

De on déduit alors

Enfin avec on obtient d'où

Oui , même si les outils employés sont élémentaires , il faut tout de même une certaine maitrise des identités remarquables et une très bonne pratique des inéquations pour s'en sortir . Autant je trouve intéressants certains exercices d'olympiades qui demandent une approche originale , autant j'en trouve d'autres plutôt lourds et bien peu adaptés au public concerné .

Pour un élève de 4ème ou même de seconde , cet exercice doit être un véritable calvaire

Imod

Oui, le 8 est plus facile que le 2/9.
Pour répondre d'une autre manière à " d'où vient ce 2/9 ? " :



Avec la méthode d'Imod :

et

Puis

Messages croisés

Bonjour,
j'ai une autre démonstration élémentaire en traitant d'abord le cas où
De on déduit
De on déduit
On a donc

Ensuite en posant :

Comme on en déduit
En multipliant et par on en déduit que entraine
Par suite entraine

On peut traiter de manière analogue la puissance sixième.
Quand on a:
(avec toujours ).
L'étude de sur montre qu'elle a son minimum pour et son maximum pour .
On en déduit :
Le maximum de n'est donc pas obtenu quand .

Oui : que des (a+b)² et (a-b)²

J'en propose une version très peu différente avec k dès le départ :
Soit k = x² + y² -xy.
On a 1 < k < 2 ; donc k >0 et on peut poser et .
On a alors X² + Y² - XY = 1 .
Ensuite la démarche est la même avec T = XY.
(X+Y)² 0 donne T -1/3.
(X-Y)² 0 donne T 1.
X⁴ + Y⁴ = 2 - (1 - T)² donne 2/9 X⁴ + Y⁴ 2.
Puis 2/9 < (2/9)k² x⁴ + y⁴ 2k² < 8.

Bonsoir,
On peut généraliser avec :



Mais il faut maitriser .

Toujours avec , on a

; donc positif.

Pour obtenir , c'est un peu moins simple. D'après ce qui précède, on a

Le membre de droite se factorise. Un des facteurs est positif de manière évidente.
Pour l'autre, .

Bravo Sylvieg, c'est une très belle démonstration qui n'utilise que la formule du binôme pour n=4.

Avec beaucoup plus de calculs on peut l'utiliser pour démontrer la minoration de en écrivant :



avec

On a donc

Mais cela ne marche pas pour la majoration qui s'écrit :

On peut en effet généraliser à l'infini mais je ne me lancerai pas dans une suite d'inégalités que je prends à l'envers une fois sur deux

Si on veut encadrer , on est ramené à observer la fonction . On peut aussi s'amuser à remplacer par une autre expression homogène de degré pair , l'étude est la même .

Imod

Bonjour,
Rectification pour

Sylvieg @ 22-02-2025 à 19:32

Bonsoir,
On peut généraliser avec :

Bonjour,

Je propose une approche pour répondre à cette question bien que cela reste toujours hors de portée d'un étudiant "normal" de collège.

En notant u=1/2 * (x+y)² et v=1/2 * (x-y)², et en utilisant x⁴+y⁴ = (x²+y²)² - 2(xy)², on montre que le problème revient à chercher un encadrement de l'expression :

sous les contraintes ,  u0, v0 dont la résolution est assez simple.
1- Point critique
2- Étudier l'expression sur le bord de son domaine

1/
Le seul point critique est donné par u=v=0, qui est incompatible avec les contraintes. Ainsi les extrema ne peuvent se situer que sur le bord du domaine d'étude.

2/
a) Lorsque u=4-3v alors E=8-4v²
* qui est maximale et vaut 8 lorsque v=0,
* qui est minimale et vaut 8/9 pour v=4/3 car v 4/3 puisque u0
b) Lorsque u=2-3v alors E=2-4v²
* qui est maximale lorsque v=0, et qui vaut 2.
* qui est minimale pour v=2/3 (car u=2-3v doit rester positif) et vaut 2/9

Bilan :
2/9 < E < 8