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Inégalité triangulaire

Posté par
myrayaa 26-03-14 à 18:25

Bonjours tout le monde,
A, B et C 3 points quelconques du plan. Démontrer que AB \leqslant AC+CB
Démonstration:
\vec{AB}=\vec{AC} + \vec{CB}\Longleftrightarrow
(\vec{AB})^2 = (\vec{AC} + \vec{CB})^2\Longleftrightarrow
AB^2 = AC^2 + CB^2 + 2 \vec{AC}.\vec{CB}\Longleftrightarrow
AB^2 = AC^2 + CB^2 + 2 AC \times CB \times \cos C
or        cos C \leqslant 1\Longleftrightarrow
2 AC \times CB \times \cos C \leqslant 2 AC \times CB\Longleftrightarrow
AC^2 + CB^2 + 2 AC \times CB \times \cos C \leqslant AC^2 + CB^2 + 2 AC \times CB\Longleftrightarrow
AC^2 + CB^2 + 2 \vec{AC}.\vec{CB} \leqslant AC^2 + CB^2 + 2 \times AC \times CB\Longleftrightarrow
(\vec{AC} + \vec{CB})^2 \leqslant (AC + CB)^2\Longleftrightarrow
(\vec{AB})^2 \leqslant (AC+CB)^2\Longleftrightarrow
AB^2 \leqslant (AC+CB)^2     et comme la fonction carré est croissante sur \mathbb{R}_{+} alors
AB \leqslant AC+CB
Merci de me valider cette démonstration ou me préciser les erreurs, les imperfection et n'hésiter pas à critiquer la rigueur pour Oral capes
Merci pour tout commentaire

Posté par
myrayaare : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 18:54

Je me suis rendu compte d'une erreur, à l'avant dernière étape

Citation :
et comme la fonction carré est croissante sur \mathbb{R}_{+} alors

c'est plutôt la fonction racine carré

Posté par
idmre : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:27

salut,
Aïe, ouhlala... au cas où
pas Chasles:
\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB} donc \|\vec{AB}\|=\|\vec{AC}+\vec{CB}\|\leq \|\vec{AC}\|+\|\vec{CB}\|

Bref...

Posté par
idmre : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:28

es-tu vraiment en capes

Posté par
myrayaare : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:32

oui je prépare mon oral en avril
Pourquoi tu me pose cette question il n'y a rien de rassurant sur ce que j'ai posté?

Posté par
idmre : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:34

Juste un truc,
... or \cos C\leq 1\iff 2AC\timesCB...
Ce n'est bien sûr pas une équivalence ! \cos C\leq 1 par définition !
Mis à part ce détail, ta démo est correcte (mais mon dieu qu'elle est compliqué pour un problème aussi banale)

Posté par
myrayaare : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:35

je ne comprend pas pourquoi tu as l'air si étonné que ça? précise moi plutôt mes erreur?
pourquoi pas chasles?

Posté par
idmre : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:37

Citation :
Pourquoi tu me pose cette question il n'y a rien de rassurant sur ce que j'ai posté?

Ce n'est pas à moi de juger, et je suppose que pour expliquer ça, tu as des outils assez restreint, ce qui explique cette montagne de complications (inutile à mon goût, mais comme je ne connais pas les outils qui te sont mis à disposition, je ne peux rien dire) mais il me semble que l'inégalité triangulaire est connu depuis un certain temps. A voir

Posté par
idmre : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:38

Citation :
précise moi plutôt mes erreur?

Je ne comprend pas (voir mon mail de 19:34.

Citation :
pourquoi pas chasles?

C'est à dire ?

Posté par
idmre : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:39

autant pour moi, je voulais dire \red\text{PAR} Chasles

Posté par
myrayaare : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:53

j'ai hésité sur ta facon de faire je me suis dit le cœur de la démonstration est de prouvé norme (ac+cb)<= norme ac +norme cb
pour moi ça revient à démontrer ça
ç'est pour ca je ne l'ai pas fait!
regarde ce que j'ai trouvé sur mégamths (dédié au capes)

Posté par
myrayaare : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 19:57

regarde ce pdf page 179 http://megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/oralpistes01.pdf

Posté par
myrayaare : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 20:01

c'est vrai pour le cos c'est une implication pas équivalence
regarde s'il te plait le lien de mégamaths dans mon message précédent et dit moi ce que tu pense
et merci beaucoup pour ses précisions.

Posté par
idmre : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 20:14

J'aime bien cette démonstration
Sinon (mais ça reprend le même principe (je ne met pas les flèches au dessus des vecteurs))
\|AC+CB\|^2=\langle AC+CB, AC+CB\rangle=\langleAC,AC\rangle+\langle CB,CB\rangle+2\langle AC,CB\rangle\underset{C.S.}{\leq} \|AC\|^2+\|CB\|^2+2\|AC\|\|CB\|
=(\|AC\|+\|CB\|)^2,

ce qui te permet de conclure

P.S.: C.S. c'est pour Cauchy-Schwarz

Posté par
myrayaare : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 20:24

ok merci pour tes précisions.

Posté par
idmre : Inégalité triangulaire 26-03-14 à 20:45

de rien

Posté par
carpediemre : Inégalité triangulaire 27-03-14 à 16:41

salut

une autre démonstration ::

[img1]

regardez !!!

Posté par
carpediemre : Inégalité triangulaire 27-03-14 à 17:28

pardon ::

Inégalité triangulaire

regardez !!!

Posté par
pythre : Inégalité triangulaire 27-03-14 à 22:35

Joli Carpédiem Joli

Posté par
alainpaulre : Inégalité triangulaire 28-03-14 à 16:16

Oui pas mal du tout!



Et l'arc ?  'l' longueur de la corde (au sens géométrique)

corde juste tendue AB , mon doigt  en   C ,    AC+ CB  = l ,je bande l'arc doucement
                       mon doigt recule en C'  AC'+C'B = l  >  AB  
                                puis en  C"   ...



Alain


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