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Inégalités...

Posté par Doigts De Fée (invité) 07-02-04 à 19:58

Bonjour,

je voudrais prouver que, pour a, b et c compris entre 0 et 1 strictement, on a
(1/a) + (1/b) + (1/c) + abc < ou = a + b + c + (1/abc)

J'ai réduit les deux expressions au même dénominateur,
Ce qui me donne (bc + ac + ab + a²b²c²) / abc pour la première et
(a²bc + ab²c + abc² + 1) / abc pour la seconde
puis j'ai démontré que a²bc + ab²c + abc² < bc + ac + ab < 3
Ce qui m'amène a a²bc + ab²c + abc² + 1 < bc + ac + ab + 1 < 4
et a²bc + ab²c + abc² + a²b²c² < bc + ac + ab + a²b²c² < 3 + a²b²c²
Je pensais pouvoir me servir de ca, mais je bloque...

Vous voudriez pas me donner une piste c'est une question d'honneur et d'amour propre  
Pour ce qui est de mon niveau c'est celui d'une TES ac certaines notion de 1eS

Merci !

Posté par zlurg (invité)re : Inégalités... 07-02-04 à 20:34

Hum, qui es tu Doigt De Fée ?

Un des exos que tu as proposé recemment était très intéressant mais
pas évident ( le quadrilatère avec les partages en trois ). Il n'y
a pas eu de solution ici.
J'avais trouvé une solution très calculatoire mais un ami en a trouvé une
plus simple ( mais en plusieurs pages tout de même ) avec le produit
vectoriel.

Où vas tu chercher cela.?

Avant de me lancer sur celui-ci j'aimerais savoir d'où tu le
tiens.

Posté par Doigts De Fée (invité)re : Inégalités... 07-02-04 à 21:41

Pour celui des quadrilatères, il en existe une toute simple avec
Thalès parce qu'il s'avère qu'y plein de quadrilatères.
Quant a moi j'en avais fait une avec des vecteurs aussi.

C'est un prof qui me les donne ces problèmes, un prof interessant

Posté par Doigts De Fée (invité)re : Inégalités... 07-02-04 à 21:42

Pardon, je recommence, il s'avère qu'il y a plein de parrallèlogrammes


*Désolée*

Posté par zlurg (invité)re : Inégalités... 08-02-04 à 07:56

pour celui-ci j'ai une preuve "fastoche"

On définit la fonction f sur ]0;1[

par f (a)=1/a+1/b+1/c+abc-a-b-c-1/abc  

( a devient une variable, b et c sont des paramètres )

On dérive : f'(a)=(bc-1)*(a²-1)/a²bc ( calcul non détaillé )

vu que 0<b<1 et 0<c<1 , sur ]0;1[ f'(a) > 0

donc f est croissante ( et même strictement )

On calcule f(1) qui vaut 1+1/b+1/c+bc-b-c-1/bc

On définit la fonction g sur ]0;1[

par g(b) = 1+1/b+1/c+bc-b-c-1/bc

On dérive : g'(b)=(b-1)(b²-1)/b²c

vu que 0<c < 1, sur ]0;1[ : g'(b) > 0

Donc g est croissante ( strictmt )

On calcule g(1) qui vaut 0

ainsi, vu que g est croissante sur ]0,1[

on a g(b)   0

mais g(b) c'est aussi f(1)

et vu que f est croissante sur ]0;1[

on a f(a) 0

soit 1/a+1/b+1/c+abc-a-b-c-1/abc   0

ou 1/a+1/b+1/c+abc 0 a+b+c+1/abc  

inégalité prouvée, pour tout a,b,c de ]0;1[

Maintenant, concernant l'autre démonstration, s'il est vrai qu'avec
un parallèlogramme ou un trapèze, elle est facile avec Thalès et
vecteurs, je ne crois pas ( sans l'avoir sous les yeux ) qu'elle
soit possible uniquement avec Thalès et/ou vecteurs dans le cas d'un
quadrilatère convexe quelconque car les partages en trois ne font
apparaître aucun parallélogramme.
Ou alors il faut définir de nouveaux points...lesquels ?
Je serais très curieux de savoir
Et à mon avis, on n'échappe pas aux barycentres.

Posté par
otto
re : Inégalités... 08-02-04 à 10:05

Je ne comprend pas bien

Si tu montres que les applications partielles sont toujours positives,
en quoi tu peux montrer que la fonction des 3variables l'est??

exemple:

f(x,y)=x-y

si j'étudie x->f(x,y) elle est toujours positive pour x>y
si j'étudie y->f(x,y) elle est toujours positive pour x<y

pourtant suivant une certaine direction je peux la trouver toujours négatife
f(x,x+1) par exemple

Enfin cet exemple est assez mauvais parce qu'il ne permet pas bien
de se rendre compte de ce que je veux dire, mais c'est le 1er
qui m'est venu à l'esprit.
En général quand tu montres un résultat analytique sur les fonctions
partielles, tu ne peux rien conclure sur la fonction. (continuité,
dérivabilité, extrema, etc.)

Posté par Doigts De Fée (invité)re : Inégalités... 08-02-04 à 10:05

Concernant le quadrilatère, je ne pense pas que mon prof m'ai
raconté des salades...
Il faut chercher les parrallèles au bon endroit.
Il faut regarder les droites qui relient les points qui séparent chaque
segment en 3.
Si E est celui qui délimite le premier tiers de AB, F le 2e tiers de
AB, G le 1e tiers de AD et H le 2e, alors (si je me souviens bien
de ma démonstration, j'espere que je dis pas de betises) EG
et FH sont parrallèles. Et la Thalès arrive...

Posté par
otto
re : Inégalités... 08-02-04 à 10:11

Pardon, la fonction est toujours positive pour x>y.
La boulette...

Posté par zlurg (invité)re : Inégalités... 08-02-04 à 11:50

pour otto

je ne vois pas de bug dans ma preuve. ( sauf calculs..? )

pour ddf

ça oui, elles sont parallèles, on y pense tout de suite, mais aucune
ne passe ( dans le cas général) par les points, appelons les A',B',C'
et D', du quadrilatère convexe central...

je reste septique, sauf suite de la dém  

Nb, je retire ce que j'ai dit au sujet des barycentres, on peut
s'en passer, mais c'est un bon raccourci

sinon, pour ton inégalité, ça colle ?

A ce soir

Posté par Doigts De Fée (invité)re : Inégalités... 08-02-04 à 12:13

Oui tout colle pour l'inégalité
Merci beaucoup !

Pour le quadrilatère, le but est de prouver que les segments tirés sont
coupés en 3 morceaux égaux ce qui permet ensuite d'appliquer
le théorème de conservation des aires des triangles ayant la meme
base et la meme hauteur et de conclure.

Posté par zlurg (invité)OUiiiii 09-02-04 à 06:59

OUIIIIIIIIII? J'AI ERUSSI !!!!!!!

coupés en trois morceaux égaux, bon ça c'est facile.

après, la clef à laquelle je n'avais pas pensé ce sont tous ces triangles
de même aire ( à cause des médianes )

je termine par l'équation :

A=1/9 A + 4/9 A + A"-A"+4(a+b) d'où a+b=1/9 A

avec A : l'aire du grand quad
         a+b : l'aire du petit central divisée en deux
         A" qui me génait, l'aire de deux triangles isométriques
qui s'éliminent
Il y a peut-être d'autres découpages...,

mais alors que j'étais parti loin ( jusqu'au valeurs propres
d'une matrice trop séduisante ) on peut  résoudre ce pb avec
les outils d'un élève de seconde.

alors merci pour cet exo

d'ailleurs si on découpe en 5, 7...ou tout impair, on démontre de la même manière
que l'aire du central est 1/(2n+1)² fois celle du grand quadrilatère......tu
pourras  frimer en le faisant remarquer à ton prof, avec un peu de
chance peut-être qu'il ne le sait pas.

Posté par zlurg (invité)re : Inégalités... 09-02-04 à 07:00

    

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