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Inégalités accroissement finis

Posté par
nyto
09-02-18 à 17:31

Bonjour à tous je bloque sur un exercice .
Soit ]0;1[.
Prouver que pour nombre entier naturel n on a:
\frac{\alpha }{(n+ 1)^1^-^\alpha }\leq (n+1)^\alpha -n^\alpha \leq \frac{\alpha }{n^1^-\alpha }
A la dernière expression alpha est en exposant , petite erreure de frappe

Posté par
boninmi
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 18:05

Bonsoir,

Tu as intitulé l'exercice "Inégalité des accroissements finis".
Peut-être peux-tu songer à la fonction f(x)=x entre les valeurs n et n+1 pour x ?

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 18:15

Bonsoir oui c'est cela Parce que c'est un piston que nous à donner le prof en classe .

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 18:16

Oui j'y ai songer mais j'ai eu à faire les même considérations que toi mais ca tombe pas

Posté par
boninmi
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 18:23

f'(x)=x-1
=/x1-

Que dit alors le théorème des accroissements finis ?
En tenant compte ensuite du sens de variation de f'(x), que peux-tu en déduire ?

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 18:25

2min je refais

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 18:36

Je ne voit toujours pas

Posté par
boninmi
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 20:15

Théorème des accroissements finis, appliqué à l'intervalle [n,n+1] pour la fonction f: il existe c dans ]n,n+1[ tel que f'(c)=(f(n+1)-f(n))/((n+1)-n).
Remplace f et f' par leurs expressions ci-dessus et utilise le sens de variation de f' pour encadrer f'(c) sur l'intervalle ]n,n+1[.

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 20:35

Merci

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 22:49

Pour encadrer f'(c) je part de l'encadrement c€]n;n+ 1[ ?

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 09-02-18 à 23:28

J'ai trouvé que f' est strictement décroissante sur ]n;n+1[ , seul soucis est que si je vais du fait que c € ]n;n+1[  je trouve le te résultat demandé mais avec des inégalités strictes

Posté par
carpediem
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 09:18

salut

il est évident que : a < x < b => a \le x \le b

la réciproque étant elle bien sur fausse ....

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 09:33

carpediemmerci beaucoup j'y ai y pensé et j'ai appliquer merci beaucoup carpediem. La deuxième et dernierere question on le demande d'en déduire  un équivalent en
+  de \sum_{p=1}^{n}{\frac{1}{p^1^-^\alpha }}}
Ca moi même je réfléchi la dessus .

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 09:34

boninmi merci beaucoup

Posté par
lake
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 11:05

Bonjour,

Avec ton inégalité, tu peux encadrer \dfrac{1}{p^{1-\alpha}}

Puis avec une somme télescopique, encadrer ta somme.

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 11:57

Ok je bosse merci

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 12:35

lake @ 10-02-2018 à 11:05

Bonjour,

Avec ton inégalité, tu peux encadrer \dfrac{1}{p^{1-\alpha}}

Puis avec une somme télescopique, encadrer ta somme.

voici ce que je trouve \frac{\alpha }{(p+1)^1^-^\alpha }\leq (p+1)^\alpha-p^\alpha \leq \frac{\alpha }{p^1^-\alpha } Effectivement au milieu j'ai une somme télescopique quand je somme et après ?

Posté par
lake
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 12:49

Citation :
voici ce que je trouve \frac{\alpha }{(p+1)^1^-^\alpha }\leq (p+1)^\alpha-p^\alpha \leq \frac{\alpha }{p^1^-\alpha }


D'où tu peux déduire:

    \dfrac{(p+1)^{\alpha}-p^{\alpha}}{\alpha}\leq \dfrac{1}{p^{1-\alpha}}\leq \dfrac{p^{\alpha}-(p-1)^{\alpha}}{\alpha}

et tu sommes de 1 à n

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 12:53

Oulala j'ai pas vu ca comment je bosse merci

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 19:50

lake @ 10-02-2018 à 12:49

Citation :
voici ce que je trouve \frac{\alpha }{(p+1)^1^-^\alpha }\leq (p+1)^\alpha-p^\alpha \leq \frac{\alpha }{p^1^-\alpha }


D'où tu peux déduire:

    \dfrac{(p+1)^{\alpha}-p^{\alpha}}{\alpha}\leq \dfrac{1}{p^{1-\alpha}}\leq \dfrac{p^{\alpha}-(p-1)^{\alpha}}{\alpha}

et tu sommes de 1 à n

tu peux me donner un piston sur comment tu as encadré \frac{1}{p^1^-^\alpha }
Depuis je tourne mais rien

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 19:51

nyto @ 10-02-2018 à 12:53

Oulala j'ai pas vu ca comment je bosse merci
à d'oeil je pensais que ca allait être chose facile mais ya un truck que je vois pas !

Posté par
lake
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 19:59

Citation :
\frac{\alpha }{(p+1)^1^-^\alpha }\leq (p+1)^\alpha-p^\alpha \leq \frac{\alpha }{p^1^-\alpha }


Il suffit de changer p en p-1 dans la première partie de l'inégalité.

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 20:56

Première partie de l'égalité ?

Posté par
lake
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 21:04

Tu ne vois pas deux inégalités ici:

Citation :
\frac{\alpha }{(p+1)^1^-^\alpha }\leq (p+1)^\alpha-p^\alpha \leq \frac{\alpha }{p^1^-\alpha }


?


  

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 10-02-18 à 21:26

Ah d'accord désolé je refais merci

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 02:58

Ok j'ai réussi la démo j'y suis allé égalité par égalité en sommant je trouve
\frac{1}{\alpha }[(n+1)^\alpha -1]\leq \sum_{p=1}^{n}{\frac{1}{p^\alpha^-^1 }}}\leq \frac{1}{\alpha }.n^\alpha c'est correcte à mon avis bon j'y suis arrivé jusqu'ici maintenant comment trouver l'équivalence ?

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 03:00

lake @ 10-02-2018 à 21:04

Tu ne vois pas deux inégalités ici:

Citation :
\frac{\alpha }{(p+1)^1^-^\alpha }\leq (p+1)^\alpha-p^\alpha \leq \frac{\alpha }{p^1^-\alpha }


?


  
bonjour je me reposait un peu je vien de reprendre le boulot et j'ai pu démontrer merci vraiment ! lake . Seul et dernier problème c'est je ne voit toujours pas comment conclure pour l'équivalence merci

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 03:01

nyto @ 11-02-2018 à 02:58

Ok j'ai réussi la démo j'y suis allé égalité par égalité en sommant je trouve
\frac{1}{\alpha }[(n+1)^\alpha -1]\leq \sum_{p=1}^{n}{\frac{1}{p^\alpha^-^1 }}}\leq \frac{1}{\alpha }.n^\alpha c'est correcte à mon avis bon j'y suis arrivé jusqu'ici maintenant comment trouver l'équivalence ?
inégalités par inégalités voulais je dire

Posté par
boninmi
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 09:55

En divisant chaque terme de l'inégalité ci-dessus par n/, montre que tu obtiens un encadrement où à gauche le nombre tend vers 1, et à droite tu as exactement 1. Tu en déduis la limite du terme du milieu et tu appliques alors la définition d'un équivalent.

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 10:00

boninmi bonjour ok c'est correcte ce que j'ai fait ? Ce que j'ai obtenu en sommant ? J'avais deux sommes télescopiques de pars et d'autre

Posté par
boninmi
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 10:07

Oui, la sommation me semble correcte.

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 10:17

Ok merci bon je vois comment je peux calculer la limite de
\frac{(n+1)^\alpha -1}{n^\alpha }
Même si j'avoue que la puissance alpha me gène un peu mais bon j'y vais

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 11:01

Oui finalement après théorèmes d'encadrement j'ai tr\sum_{p=1}^{n}{\frac{1}{p^1^-^\alpha }}}
Est équivalente à \frac{1}{\alpha }.n^\alpha

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 11:07

lakemerci beaucoup pour ton aide , et à toi également boninmi

Posté par
boninmi
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 11:37

nyto @ 11-02-2018 à 10:17

Ok merci bon je vois comment je peux calculer la limite de
\frac{(n+1)^\alpha -1}{n^\alpha }
Même si j'avoue que la puissance alpha me gène un peu mais bon j'y vais

D'après les propriétés des exposants réels, le raisonnement est exactement le même que si tu avais un exposant entier positif, comme 3 par exemple.

Cordialement.

Posté par
nyto
re : Inégalités accroissement finis 11-02-18 à 11:45

Oui bien sûr merci

Posté par
Jezebeth
re : Inégalités accroissement finis 12-02-18 à 01:04

Bonsoir,

lake @ 10-02-2018 à 19:59

Citation :
\frac{\alpha }{(p+1)^1^-^\alpha }\leq (p+1)^\alpha-p^\alpha \leq \frac{\alpha }{p^1^-\alpha }


Il suffit de changer p en p-1 dans la première partie de l'inégalité.


Si p est un naturel non nul ! (Il faut justifier proprement que les inégalités sont aussi vraies pour p=1).

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