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Niveau seconde
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Inégalités avec racines carrées

Posté par
leferchaud 30-03-22 à 22:49

Bonsoir tout le monde j'ai un problème avec un exercice à résoudre.
SVP aidez moi c'est à rendre pour *********
1)(x -y)**20
-2xy +y0
x+y2xy

2) Par contre le j'y arrive pas. J'ai essayé de le faire pendant 3 heures et ça n'aboutit à rien.

Inégalités avec racines carrées

* Modération > Titre modifié et image exceptionnellement tolérée. *

Posté par
flightre : Prise d'initiatives 30-03-22 à 23:21

salut

commence par developper :

(1/x + 1/y)²

Posté par
flightre : Prise d'initiatives 30-03-22 à 23:22

une fois fait multiplie membre à membre par (x+y)

Posté par
leferchaudre : Prise d'initiatives 30-03-22 à 23:27

désolé j'ai pas compris le deuxiéme message

Posté par
leferchaudre : Prise d'initiatives 30-03-22 à 23:29

flight @ 30-03-2022 à 23:21

salut

commence par developper :

(1/x + 1/y)²


= 1/x + 2/xy +1/y

Posté par
leferchaudre : Prise d'initiatives 30-03-22 à 23:51

flight @ 30-03-2022 à 23:22

une fois fait multiplie membre à membre par (x+y)

= (x2+y) +(x+y2) +(x+y)/x +2(x+y)/xy + (x+y)/y2(x+y)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 07:27

Bonjour,
@leferchaud,
Merci de tenir compte désormais des points 2 et 4 :
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

@flight,
Merci de ne pas répondre à une demande qui ne respecte pas les règles de l'île.
Voir "Un rappel des règles plus particulières pour ceux qui désirent apporter de l'aide" dans
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 17:50

du coup est-ce que quelqu'un peut m'aider svp?

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 17:54

Bonjour,

Commence par recopier ton énoncé (pas de photos). Après on t'aidera.

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:00

ok
Soit x et y deux réels strictement positifs

1) Montrer que: x+y2xy
2) En déduire que:a+b(1/x +1/y)>2

J'ai déja répondu à la 1 au-dessus

Posté par
littleguyre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:09

Bonjour,

Il n'y avait ni a ni b dans l'énoncé initial...

Et il faut mettre les parenthèses indispensables ...

Et si tu mettais au même dénominateur (1/x)+(1/y)...

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:11

désolé j'me suis tromper c pas a+b c'est x+y

(1/x + 1/y)
x/xy + y/xy

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:13

Pour le 2/ c'est plutôt (x+y)(1/x +1/y)>2 , non?

Tu remarqueras que l'inégalité est stricte, alors qu'au 1/ elle est large

A la première question tu as montré qu'étant donné a et b positifs,

a+b\geq 2\sqrt{ab}

Que devient cette relation si on prend a=\dfrac{1}{\sqrt{x}} et b=\dfrac{1}{\sqrt{y}} ?

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:21

Ça devient

x + y /xy 21/xy

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:30

Je le réécris proprement

En appliquant la relation démontrée en 1/ on obtient

(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\geq\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt{xy}}}  (1)

mais on a toujours (x+y)\geq 2 \sqrt{xy}    (2)

Vois-tu comment on pourrait un peu modifier (2) pour qu'en multipliant membre à membre avec (1) on trouve à peu près ce qu'on veut ?

Tu devrais faire attention aux parenthèses.!!

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:37

larrech @ 31-03-2022 à 18:30

Je le réécris proprement

En appliquant la relation démontrée en 1/ on obtient

(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\geq\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt{xy}}}  (1)

mais on a toujours (x+y)\geq 2 \sqrt{xy}    (2)

Vois-tu comment on pourrait un peu modifier (2) pour qu'en multipliant membre à membre avec (1) on trouve à peu près ce qu'on veut ?

Tu devrais faire attention aux parenthèses.!!


Désoler j'ai pas trop compris comment on  pourrais modifier la 2
Comment est-ce  qu'on pourrait le faire?

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:45

Dans ce qu'on veut démontrer, au membre de gauche on a

\sqrt{x+y} (\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}})

alors que dans (2) on a simplement (x+y)

Inutile de citer mes messages, on se comprend bien sans cela.

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:53

Oui. Mais du coup je dois faire quoi pour passer de (2) à (1)

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:54

Est-ce que tu sais ce que veux dire multiplier membre à membre?

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 18:57

Non pas vraiment

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:06

Pour les inégalités en supposant x, y, a et b positifs, si

a>b et x>y , on a ax>by

Pour les égalités c'est toujours vrai.

Ici, on n'a que des quantités positives et on a vu que :

(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\geq\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt{xy}}}    (1)

(x+y)\geq 2 \sqrt{xy}   (2)

et ça nous arrangerait bien qu'au lieu du (x+y) on ait \sqrt{x+y}

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:09

Ahh

Excusez comment est-ce que vous faites pour écrire des fractions?

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:13

Il faut utiliser le Latex , icône LTX avec points rouges en bas de la fenêtre de saisie.

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:28

Du coup vous voulez que je fasse

(x+y)(\frac{1}{\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt y})\geq 2\sqrt xy*\frac{2}{\sqrt \sqrt xy}

?

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:33

Je te rappelle que la fonction "racine carrée" étant croissante, si a et b positifs sont tels que:

a>b, alors \sqrt{a}>\sqrt{b}

Du coup tu vois ce qu'il faut faire à partir de (2) ?

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:39

non je vois toujours pas
Faut mettre (2) au carrée? Alors (1) il sert à quoi

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:45

Ben non, il faut prendre les racines carrées et (2) devient

\sqrt{x+y}\geq\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{xy}}  (3)

et c'est ça que tu multiplies membre à membre avec (1)

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:47

je comprends toujours pas la multiplication de membre à membre

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 19:55

a>b le premier membre est a , le second b

x>y le  premier membre est x , le second y, tous positifs

On multiplie les 2 premiers membres :  ax
On multiplie les 2 seconds membres : by,

alors ax>by.

C'est ce que tu as fait à 19h28, mais avec (1) et (2); maintenant c'est avec (1) et (3).

Je suis obligé de m'interrompre.

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 20:29

svp aidez moi. Je suis toujours perdu

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 21:10

Tu es perdu, soit, mais à partir de quelle étape?

(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}})\geq\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt{xy}}}  (1)   ?


x+y\geq\sqrt{2}\sqrt{xy}   \Longleftrightarrow  \sqrt{x+y}\geq\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{xy}}    ?

multiplier membre à membre

(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}})\geq\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt{xy}}}     et   \sqrt{x+y}\geq\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{xy}}  ?

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 21:24

je ne sais pas ce que veux dire multiplier membre à membre

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 21:39

{\blue{(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}})}}\geq\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt{xy}}}     et   {\blue{\sqrt{x+y}}}\geq\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{xy}}  ?

Tu multiplies les 2 termes en bleu entre eux et  les 2 termes en noir entre eux , séparés par \geq

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 21:46

mais ma question c'est comment est passé à ces deux inéquations à partir de x+y\geq 2\sqrt{xy}

Et comment est-ce que l'on multiplie deux inéquations différentes entre elles?

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 21:56

Désolé mais je ne vais pas recommencer depuis le début.

a+b\geq 2\sqrt{ab}

Que devient cette relation si on prend a=\dfrac{1}{\sqrt{x}} et b=\dfrac{1}{\sqrt{y}} ?

Elle devient
(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}})\geq\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt{xy}}}  (1)

Par ailleurs

x+y\geq\sqrt{2}\sqrt{xy}   \Longleftrightarrow  \sqrt{x+y}\geq\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{xy}}    ?

Puis tu regardes 21h39.

Tu fais le calcul et tu conclues.

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 22:11

J'ai fait le calcul.
La racine de 2 elle s'annule pas.

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 22:24

Donne ton résultat

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 22:36

\sqrt{x+y}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right)\geq 2\sqrt{2}

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 22:44

Eh bien c'est parfait, et comme 2\sqrt{2}>2 on a

\sqrt{x+y}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}} \right)> 2

ce qu'on voulait , et l'inégalité est devenue stricte.

Posté par
leferchaudre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 22:45

ahh merci bcp

Posté par
larrechre : Inégalités avec racines carrées 31-03-22 à 22:50

De rien, j'espère que tu as compris.


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