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Inégalités de Markov et de Cantelli

Posté par
cfg977
12-05-22 à 15:21

Bonjour!
Je voudrais une coup de main pour l'exercice suivant:

On se place dans un espace probabilisé (Ω,A ,P) et on note X
une variable aléatoire telle que E(X )=m^2 \in \mathbb{R} et E(X^2)=\rho^2+m^2. Pour tout \varepsilon > 0, on introduit la variable aléatoire Y ~\Omega \to {0,1} définie pour tout  \omega \in \Omega par :


   Y(\omega)=\begin{array}{rcr}
 \\ 1~si~\lvert X(\omega) > \epsilon \rvert\\
 \\ 0~si~\lvert X(\omega) \le \epsilon \rvert 
 \\ \end{array}




1) En posant p_{\epsilon}= P(\lvert X \rvert > \epsilon), donner l'expression de E(Y_{\epsilon}).
2) Montrer que pour tout a \in [0,2], E({\lvert X\rvert}^a) \ge E({\lvert X\rvert}^aY_{\varepsilon}).

Pour la première question, Y est la variable aléatoire indicatrice de l'évènement  (\lvert X(\omega) > \epsilon \rvert) de probablité notée p_{\epsilon} donc E(Y_{\epsilon}) = p_{\epsilon}.
Par contre j'ai pas d'idée pour la deuxième question.

Posté par
carpediem
re : Inégalités de Markov et de Cantelli 12-05-22 à 17:14

salut

c'est plutôt |X(w)| ... dans l'énoncé ...

2/  tout simplement : Y_e \le 1 \Longrightarrow Y_e |X|^a \le |X|^a puis traduis l'espérance en terme de calcul d'intégrale ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
cfg977
re : Inégalités de Markov et de Cantelli 12-05-22 à 17:53

Effectivement je me suis trompée. Merci

Comment a partir de cette inégalité on peut retrouver l'inégalité de Markov: \forall ~\varepsilon > 0, P(\lvert X \rvert>\varepsilon) \le \frac{E({\lvert X \rvert}^a)}{\varepsilon^2}. Une comparaison entre E({\lvert X \rvert}^a), E({\lvert X \rvert}^aY_{\varepsilon})~et~ E({\varepsilon}^aY_{\varepsilon})
permettrais de conclure car  E({\varepsilon}^aY_{\varepsilon}) = {\varepsilon}^aE(Y_{\varepsilon}) = {\varepsilon}^aP(\lvert X \rvert>\varepsilon) mais je ne vois pas quoi ce serait licite.

Posté par
cfg977
re : Inégalités de Markov et de Cantelli 12-05-22 à 18:08

J'ai trouvé une idée :
si l'évènement (\lvert X \rvert \le \varepsilon) est réalisé alors {\lvert X \rvert}^aY_{\varepsilon} = \varepsilon}^aY_{\varepsilon} = 0, sinon on a {\lvert X \rvert}^aY_{\varepsilon} \ge \varepsilon}^aY_{\varepsilon}



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