BONJOUR lILI20000,
Puisque x>=1 ln(x)>=0 .1+x²+2x=(1+x)²>=1+x²>=x² : donc inégalité inversée sur les inverses!Bonne nuit.

ok merci bien

mais l'exo n'est pas fini et je bloque aussi sur la suite:

Soit F(x) l'intégrale de f(x) sur ]1;x[  
Je devais montrer que F est dérivable, preciser F' et trouver le sens de variation de F

j'ai trouvé F'=f  et F décroissante sur ]0;1[ et croissante sur ]1;+00[

puis ils me rappellent l'inéquation précédente.

Soit I(x) l'intégrale entre 1 et x de  ln(t)/t^2
Soit J(x) l'intégrale entre 1 et x de  ln(t)/(t+1)^2

A l'aide d'une intégration par partie je dois calculer I
Et a l'aide d'une intégration par partie et de l'égalité    
      1/(t(1+t)) =  1/t - 1/(t+1) pour t >0 calculer J.


ceci me pose probleme car je vois pas a koi sert l'egalité donnée et l'ingration I  j'avais trouvé une solution mais elle est fausse car
la question d'apres est en deduire que

ln2+ln(x/(x+1))- lnx/(X+1)  <=  F(x)  <=  1- lnx/x - 1/x

donc j'ai supposé que les deux encadrement sont les solutions des intégrales mais je ne trouve aucun résultat

En plus pour la J avec l'integration par partie j'obtiens une intégration encore plus compliquée

s'il vous plait aidez moi je suis vraiment bloquée.

merci

s'il vous plait  n'avez vous aucune idée pour calculer ces deux intégrales??  I(x) et J(x) ?????

Bonjour Lili20000,
f(x), sur ]1;x[ ,est continue ET bornée (par ln(x)/(x+1)²),
donc F(x) est dérivable.Sur cet intervalle F'=f ,or f est>0 ,
F est donc croissante.(pourquoi envisages-tu d'autres intervalles?).
_I(x)=Som(ln(t)/t²) pose u=ln(t) v'=dt/t² ...
_J(x)= ...en l'intégrant par parties tu auras ,entre autres,à calculer Som(1/[t(t+1)]):c'est pourquoi on te donne,et c'est sympa,que 1/(t(t+1))=1/t-1/(t+1)... essaie de continuer...et bonne journée.          

Erreur f(x) est CONTINUE,CROISSANTE et BORNEE par ln(x)/x².
Quelle dificulté rencontres-tu pour calculer J(x) si tu sais calculer I(x)?.. au lieu de poser dv=dt/t² il suffit de poser dv=dt/(1+t).

mais je ne crois pas  

f n'est pas toujours positive.  sur ]0;1[  f<0 ce qui fait que F décroissante.

Non????

et je doute de quelque chose  est-ce que la dérivée de l'intégrale de f  est bien f ????

Bonjour Lili,
si tu lis bien ton énoncé:il s'agit de f(x) définie sur "]1,x[" .
d'accord?

Bonjour Lili,
si tu lis bien ton énoncé:il s'agit de F(x) définie sur "]1,x[" .
d'accord?

voila je me demande juste si  la derivée d'une intégrale (le grand S) est bien la fonction intégrée???  parce ce que je croix que ce serais le cas de la primitive mais l'intégrale je ne suis pas sure????


sinon j'ai reussi à calculer I et J  merci de l'aide.



????

et aussi quelles sont les bonnes variations de F par rapport au signe de f  ?????  si f est bien la dérivée de F??????

re bonjour,
je ne comprends pas bien ta question:F(x) est l'intégrale de f sur
]1,x[;sur cet intervalle,f(x) est la dérivée de F(x):donc puisque
f est >0 F(x) est croissante.
Si tu es encore dubitative essaie de préciser .

voila en fait mon énoncé dis que f et F sont definies sur  ]0;+OO[

et c pour ça que je disais que F est decroisante entre 0 et 1 .

et vous d'accord????  

ce que je me demandais c'etait si on pouvait dire que: si on a une fonction f qui est intégrée (et non primitivée) et qui donne F, est ce que la dérivée de F est bien f . En effet je n'étais pas sure que ce soit  possible car en générale on lie les dérivées aux primitives et non aux intégrales?

non l'énoncé ne dit pas que F est définie sur]0;+oo[,il ne le dit que pour f:F n'est définie que sur ]1: x[.Si F est dérivable,et nous l'avons expliqué,sa dérivée ne peut être que f.
je te souhaite une bonne soirée,à bientôt.

ah je vois, j'ai écris plus haut que F était definie sur ]1;+OO[  mais c'est une erreur de frappe car dans mon vrai énoncé c'est bien écrit F définie sur ]0;+OO[  je suis vraiment désolé d'avoir fait une erreur. mais c'est bien sur ]0;+oo[  .

Dans ce cas est ce que mes variations sont justes?? F décroissante jusqu'a 1 puis croissante jusqu'a +oo  ???

Bonne journée

c'est bon j'ai compris ce que je vous demandais  merci pour votre aide

Mais mon exercie n'est pas fini

il y a plusieurs questions auquelles j'ai repondu puis arrive une derniere partie qui dit:

soit G fonction numerique definie sur ]0;+oo[ par
   G(x)= F(1/x) - F(x)

je dois calculer G'(x)  pour x>0 .  je pense qu'il faut faire G'(x)= f(1/x) - f(x)  ce qui me donne G'(x)= (x^2.ln(1/x^2))/(1+x^2) ou G'(x)= (ln(1/x^2))/(1+(1/x^2))    est-cejuste ou non???????????



puis apres je dois verifier que pour x>0  G(x) = 0  et la je ne vois pas du totu comment faire ?????????????

avez vous une idée un indice pour m'aider a prouver que ça vaut 0 ?? et est ce que ma derivée est juste ?????

salut

G(x)= F(1/x) - F(x)

donc G'(x)=(-1/x²)*F'(1/x) - F'(x)

et F'(x)=f(x)

comme  f(x)=ln(x)/(1+x^2)

on a G'(x)=(-1/x²)*ln(1/x)/(1+1/x²) - ln(x)/(1+x²)

G'(x)=(1/x²)*ln(x)/(1+1/x²) - ln(x)/(1+x²) = ln(x)/(x²+1) - ln(x)/(1+x²)=0

donc pour x > 0 G'(x) = 0
donc pour tout x > 0 G(x)= constante.

pour tout x > 0 G(x) = G(1) = F(1) - F(1) = 0
donc pour tout x > 0 G(x) = 0
  

G(x)=F(1/x)-F(x)
G'(x)=(F(1/x)-F(x))'
     =(F(1/x))'-F'(x)
F(1/x)est la composee de F et de 1/x
donc (F(1/x))'=F'(1/x)*(1/x)'=f(1/x)*(-1/x²)
a l'aide de ceci tu peux continuer

merci à tous pour votre aide ça m'a beaucoup aidé et permis de comprendre.

mais j'ai encore une question de conclusion: je dois en déduire de cette étude de G(x)  la limite de F en O .?????

?????????????  une idée?????????????

comme G(x)=0

on a F(x)=F(1/x)

donc lim F(x)=lim F(1/x)=lim F(X)
     x->+oo   x->+oo     X->0

or F(x)  =<  1- lnx/x - 1/x

donc par passage a la limite :
lim F(x) =< lim (1-ln(x)/x-1/x)
x->0      x->0
donc lim F(x)=-oo
x->0

et
donc lim F(x)=lim F(1/x)=lim F(X)=-oo
     x->+oo   x->+oo     X->0

a verifier car j'ai fais ca vite fait...