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inéquation

Posté par bozz (invité) 30-04-05 à 22:44

Bonjour pourriez vous svp m'aidez aà résoudre cet exercice:

prouvez que pour x0 et n1
On a 1-xn\frac{1}{1+x^n}

merci d'avance

Posté par
rene38re : inéquation 30-04-05 à 22:47

Bonsoir
Produits en croix et identité remarquable.

Posté par bozz (invité)merci 30-04-05 à 23:06

cela donne-t-il bien cela:
(1-x^n)(1+x^n)1 car 1+x^n>0
1-x^{2n}1
inéquation toujours vérifiée puisque x^{2n}0

merci encore pour votre aide.

Posté par
H_aldnoerre : inéquation 01-05-05 à 02:56

slt


pr moi ca ma l'air correct ...



@+ sur l'ile _ald_

Posté par bozz (invité)re : inéquation 01-05-05 à 15:23

désolé mais je bloque sur une autre:
pour x positif prouver que
0ln(x+1)x
j'ai réussi pour l'inéquation de gauche mais je n'y arrive pas pour celle de droite            
merci de bien vouloir m'aider

Posté par
Nightmarere : inéquation 01-05-05 à 15:27

Bonjour

si 3$\rm x\ge 0
alors :
3$\rm x+1\ge 1
et donc :
3$\rm\frac{1}{x+1}\le 1

Ainsi d'aprés l'inégalité des accroissements fini :
3$\rm\Bigint_{0}^{x} \frac{dx}{x+1}\le \Bigint_{0}^{x} 1dx
soit
3$\rm\[ln(x+1)\]_{0}^{x}\le \[x\]_{0}^{x}
c'est à dire :
3$\rm ln(x+1)-ln(1)\le x-0
au final :
3$\rm \red\fbox{\fbox{ln(x+1)\le x}}


Jord

Posté par bozz (invité)re : inéquation 01-05-05 à 15:30

merci vous êtes super!

Posté par
Nightmarere : inéquation 01-05-05 à 15:31

De rien

@+ sur l'île

jord

Posté par
H_aldnoerre : inéquation 01-05-05 à 15:53

slt


etant donné que tu a reussi celle de gauche je ne parlerais que de cette inequation : 3$\ln(x+1)\le x \Longleftrightarrow \ln(x+1)-x\le0

posons 3$\alpha(x)=\ln(x+1)-x
avec 3$\fbox{D_f=]-1;+\infty[
soit 3$\alpha^'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{1-(x+1)}{x+1}=\frac{-x}{x+1}

etudions alors le signe de la derivée

3$\begin{tabular}{|c|ccccccccc||}x&-1&&&0&&&&+\infty\\\hline{-x}&||&+&&0&&-&\\{x+1}&||&+&&&&+&&\\\hline{\alpha^'(x)}&||&+&&0&&-&&\\\end{tabular}

soit pour 3$x\ge0
3$\begin{tabular}{|c|ccccccccc||}x&0&&&&+\infty\\\hline{\alpha^'(x)}&0&&-&&\\\end{tabular}

d'ou :
3$\begin{tabular}{|c|ccccccccc||}x&0&&&&+\infty\\\hline{\alpha^'(x)}&0&&-&&\\\hline{\alpha(x)}&&&\searrow\\\end{tabular}

on a :
3$\alpha(0)=\ln(0+1)-0=\ln(1)=0
et la dérivé etant stricement négative donc la dérivée stritement decroissante la fonction ainsi defini admet un maximun atteint pour 3$x=0

soit pour tout 3$x\in D_f, 3$\alpha(x)\le\alpha(0)\Longleftrightarrow\ln(x+1)-x\le0\Longleftrightarrow\ln(x+1)\le x

... voila c'etait une autre facon de faire ...


@+ sur l'ile _ald_


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