Niveau Maths sup

inéquation

Posté par tpac (invité) 11-09-05 à 20:10

Je cherche à résoudre cette inéquation mais je ne vois pas commente faire :

(1+(3)tan(x))/(3-tan(x))(1+tan(2x))/(1-tan(2x))

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par tpac (invité)re : inéquation 11-09-05 à 20:44

SVP

Posté par re : inéquation 11-09-05 à 21:27

Bonsoir,

"Peut-être" une piste

$3$\rm tan(2x)=\frac{2tan(x)}{1-tan^2(x)}$

$3$\rm \frac{1+\sqrt{3}tan(x)}{\sqrt{3}-tan(x)}\le \frac{1+tan(2x}}{1-tan(2x}}$

$3$\rm \Longleftrightarrow \frac{1+\sqrt{3}tan(x)}{\sqrt{3}-tan(x)}\le \frac{1-tan^2(x)+2tan(x)}{1-tan^2(x)-2tan(x)}$

On pose X=tan(x)

on doit donc résoudre :

$3$\rm \Longleftrightarrow \frac{1+\sqrt{3}X}{\sqrt{3}-X}\le \frac{1-X^2+2X}{1-X^2-2X}$

Salut

Posté par re : inéquation 12-09-05 à 02:49

bonsoir;
ensemble de définition D:
en remarquant que si $x$ est solution $x+k\pi$ est solution,on peut se restreindre à un intervalle d'amplitude $\pi$ soit par exemple $I=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
en enlevant ensuite les valeurs $x$ pour lesquelles $tan(x)$ et $tan(2x)$ ne sont pas définies ainsi que celles annulant les dénominateurs on arrive à:
$\fbox{D=I-\{-\frac{\pi}{2},-\frac{3\pi}{8},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\}}$
Résolution:
vu que $\fbox{tan(a+b)=\frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b)}\\tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}}$ on voit que notre inéquation s'écrit aussi:
$\fbox{\frac{1}{tan(\frac{\pi}{3}-x)}\le tan(\frac{\pi}{4}+2x)}$ ou encore $\fbox{\frac{cos(\frac{\pi}{3}-x)}{sin(\frac{\pi}{3}-x)}\le\frac{sin(\frac{\pi}{4}+2x)}{cos(\frac{\pi}{4}+2x)}}$ ou encore $\fbox{\frac{cos(\frac{\pi}{3}-x)}{sin(\frac{\pi}{3}-x)}-\frac{sin(\frac{\pi}{4}+2x)}{cos(\frac{\pi}{4}+2x)}\le0}$
ou encore $\fbox{\frac{cos(\frac{7\pi}{12}+x)}{cos(\frac{\pi}{4}+2x)sin(\frac{\pi}{3}-x)}\le0}$ ou encore $\fbox{cos(\frac{7\pi}{12}+x)cos(\frac{\pi}{4}+2x)sin(\frac{\pi}{3}-x)\le0}$
un petit tableau de signes donne:
$3$\blue\fbox{S_{I}=]-\frac{\pi}{2},-\frac{3\pi}{8}[\cup[-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{8}[\cup]\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}[}$ et $2$\blue\fbox{S_{\mathbb{R}}=\Bigcup_{k\in\mathbb{Z}}S_{I}+k\pi}$
Sauf erreur bien entendu

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