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inéquation avec ln

Posté par
Nelcar
29-11-20 à 20:12

Bonsoir,
voici un autre exercice :
résoudre dans chacune des inéquations suivantes :
1) ln(x²-2x)ln8
l'ensemble d'étude tel que x>0   x²-2x>0   x(x-2) >0  et x>2  donc x ]2;+infini[
ln(x²-2x)ln8
x²-2x8
x²-2x-80   delta =36
x1=4  et x2=-2
x²-2x-80 dans l'intervalle [-2 ; 4]
S={2;4}

2)2e3x -50
2e3x5
ln(e3x)ln(5/2)
3x5/2
x5/6
S={5/9}

3) (3ln(x)-2)(5-ln(x)<0
je ne sais pas comment débuter  

j'ai essayé j'ai fait
(3lnx-2)(5-lnx)
15lnx-10-4lnx²+2lnx<0
-4lnx²+17lnx-10<0    je ne sais pas

MERCI

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 20:26

Bonsoir
seule condition  x^2-2x>0  soit x<0 ou x>2

x^2-2x-8 \leqslant 0  soit  (x-4)(x+2)>0  donc x\leqslant -2 ou x \leqslant 4

vous  mélangez un peu équation et inéquation

3 systèmes  l'un négatif et l'autre positif

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 20:37

Re,
oui en effet . Donc ok pour le 1)

pour le 2)
2)2e3x -50
2e3x5
ln(e3x)ln(5/2)
3x5/2
x5/6

MERCI

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 20:52

Pour le je n'ai pas dit cela

Ensemble de définition ]-\infty~;~0[  \cup  ]2~;~+\infty[

Ensemble solution ]-\infty~;~-4]  \cup  ]2~;~+\infty[

Pour 2 \text{e}^{3x}\geqslant \dfrac{5}{2}

 \dfrac{5}{2}=\text{e}^{\ln (5/2)} à terminer

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 21:19

ok
donc pour le 2
2e3xeln(5/2)
ln e3xln e ln5/2

ln ea=a
3xln5/2
xln2,5/3

MERCI  je m'arrête là avant d'avoir confirmation

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 21:39

  pour le 2   j'avais déjà divisé par 2

2\text{3x}-5\geqslant 0

 \text{e}^{3x}\geqslant \dfrac{5}{2}

vous avez écrit  \ln e^a=a    certes mais dans l'autre ordre c'était plus intéressant

\text{e}^{\ln a}=a ce qui va nous permettre d'écrire 5/2 comme \text{e}^{\ln 5/2}

L'inéquation devient donc  \text{e}^{3x}\geqslant \text{e}^{\ln (5/2)}

  d'où  3x\geqslant \ln (5/2)

 x\geqslant \dfrac{\ln(5/2)}{3} je vous laisse  conclure

On est d'accord  mais pourquoi ce détour

\text{e}^{3x}\geqslant \dfrac{5}{2}

Vous choisissez de prendre le log  mais pourquoi passer par e avant

\ln \text{e}^{3x}\geqslant \ln (5/2) d'où  3x\geqslant  \ln \left(\dfrac{5}{2}\right) On arrive bien au même résultat

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 21:41

il faut évidemment lire 2\text{e}^{3x} première ligne

Posté par
azerti75
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 21:52

Bonsoir,

Je me permets de corriger quelques erreurs :

hekla @ 29-11-2020 à 20:26

Bonsoir
seule condition  x^2-2x>0  soit x<0 ou x>2

x^2-2x-8 \leqslant 0  soit  (x-4)(x+2) \le0  donc x\ge -2 ou x \leqslant 4

Posté par
azerti75
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 21:58

Egalement ici:

hekla @ 29-11-2020 à 20:52



Ensemble solution ]-\infty~;~-4]  \cup  ]2~;~+\infty[  


C'est faux

Posté par
azerti75
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 22:12

Nelcar si tu as compris ce que tu fais(ce, sur quoi j'ai un doute)refais la 1, et écris l'ensemble solution correct.

Sur ce, je m'éclipse et je laisse Hekla poursuivre

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 22:13

L'ensemble solution est presque correct  ce sont les signes qui ne le sont pas

rectification 20 :26

x^2-2x-8 \leqslant 0  soit  (x-4)(x+2)\leqslant 0  donc  x< -2 ou x \geqslant 4

mélange entre g et l

rectification 20 52
Ensemble solution ]-\infty~;~-2[ \cup  [4~;~+\infty[

Posté par
azerti75
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 22:21

hekla @ 29-11-2020 à 22:13

L'ensemble solution est presque correct  ce sont les signes qui ne le sont pas

rectification 20 :26

x^2-2x-8 \leqslant 0  soit  (x-4)(x+2)\leqslant 0  donc  x< -2 ou x \geqslant 4

mélange entre g et l

rectification 20 52
Ensemble solution ]-\infty~;~-2[ \cup  [4~;~+\infty[


Encore faux!
Exemple - 3 serait une solution avec cet ensemble, or: on obtient pour x = - 3; x² - 2x - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 qui n'est pas négatif il me semble

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 22:24

20 :26 j'avais écrit >0 là est le début de l'erreur  

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 29-11-20 à 22:35

exercice 1  Annule et remplace

 \ln(x^2-2x) \leqslant \ln8

ensemble de définition x^2-2x >0  d'où x<0 ou x>2 soit

]-\infty~;~0[\cup ]2~;~+\infty[

Résolution  x^2-2x \leqslant 8 \iff (x-4)(x+2)\leqslant 0 d'où -2 \leqslant x \leqslant 4

Ensemble solution [-2~;~0[\cup ]2~;~4]

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 09:07

Bonjour,
pour l'exercice 1 c'est bon maintenant car là je suis perdue entre vous deux. Donc c'est bon là, j'avoue que je n'ai pas compris l'ensemble de solution pourquoi pas ]-infini;0[U]2;+infini[ merci de m'expliquer votre ensemble de solution (car pour moi j'avais compris qu'il fallait prendre ce qui était commun entre ensemble de solution et le résultat de la résolution.

exercice 2
2)2e3x-50
e3x5/2
lne3xln5/2
3xln5/2
x(ln5/2)/3

ensemble de solution ](ln5/2)/3 ; + infini[

MERCI

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 10:37

À un moment j'ai fait une erreur de texte  j'ai transformé un \leqslant en >  avec les erreurs qui en ont suivi

Dans la résolution de l'inéquation du second degré  le trinôme est du signe de a sauf entre les racines  
Ici les racines étaient -2 et 4  donc x^2-2x-8 est donc négatif entre -2 et 4

Bien sûr pour l'ensemble solution il faut prendre les parties communes

on a donc entre -2 et 0 -2 fermé  il est dans l'ensemble  0 exclu  il n'y est pas  ensuite  on repart  de 2, exclu, jusqu'à 4 inclus   puisque l'inégalité est large

exercice 2  fermé à gauche  l'inégalité est large

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 10:55

Re,
ok pour le 1 je comprend un peu mieux

pour le 2 c'est bon  sauf pour l'ensemble de solution il fallait faire [(ln5/2)/3 ; + infini[
c'est bien ça ?

exercice 3 (dans le même exercice) à savoir :
(3ln(x)-2)(5-ln(x)<0
Là je suis perdue je dois commencer par quoi : dois-je faire le produit , dois-je passer un terme dans un autre côté.....

MERCI

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 11:14

Pour le 2 oui

pour le 3   on veut que le produit soit négatif   on a donc + \times -=-  ou -\times +=-

on va donc transformer l'inéquation  en deux systèmes

\begin{cases}3\ln x-2>0\\5-\ln x <0\end{cases} ou \begin{cases}3\ln x-2<0\\5-\ln x>0\end{cases}

On résout chacune des inéquations séparément  et on prend l'intersection des ensembles solutions pour chacun ds systèmes

Autrement dit on fait un tableau de signes avec le signe de chaque expression

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 11:51

Re,
donc pour 3lnx-2>0   j'ai trouvé lnx>2/3
5-lnx>0  j'ai trouvé lnx<5
donc là je peux dire que la solution est [2/3 ; 5]

et 3lnx-2<0  j'ai trouvé lnx<2/3
5-lnx>0  j'ai trouvé lnx>5
donc là je peux dire qu'il n'y a pas de solution

S=[2/3 ; 5]

MERCI

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 12:25

D'abord l'ensemble de définition  ]0~;~+\infty[

Signe de 3\ln x-2

3\ln x-2 >0  \iff \ln x> \dfrac{2}{3} or  \dfrac{2}{3}= \ln \text{e}^{2/3} d'où x>

Signe de  5-\ln x  

puis tableau

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 13:26

Re,
j'ai fait
3lnx-2>0 lnx>2/3 or 2/3=lne2/3 d'où x>2/3
5-lnx>0   ln>5  or 5 = lne5 d'où x>5
Df= {2/3 ; 5}
tableau
x                                                  0           2/3             5              + infini
3ln(x)-2                                                -    0        +            +
5-ln(x)                                                 -              -      0     +
(2ln(x)-2)(5-ln(x)                                +   0        -     0      +

mais j'avoue que je suis perdue, pourquoi faire le tableau ?
On demande de résoudre l'inéquation

MERCI

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 13:50

\ln a >\ln b \iff  a>b

on  a  \ln x>\ln \text{e}^{2/3}  d'où x> \text{e}^{2/3}

Où sont passés les \text{e}^

Je vous l'ai dit au départ   vous avez un produit  que l'on veut négatif   Il est plus simple  de faire un tableau que les systèmes que j'avais écrits supra pour montrer dans quel cas on avait un produit négatif.

Souvent lorsque vous avez fait des tableaux de signes c'était bien pour résoudre des inéquations

Votre deuxième ligne est fausse  si l'on multiplie par un réel négatif on renverse le sens de l'inégalité

Complétez et concluez

inéquation avec ln

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 14:10

Re,

je pensais que ln s'annulait avec e
là j'avoue que je suis perdue
ce que j'ai mis au-dessus c'est donc faux à savoir :

Citation :
3lnx-2>0 lnx>2/3 or 2/3=lne2/3 d'où x>2/3
5-lnx>0   ln>5  or 5 = lne5 d'où x>5
Df= {2/3 ; 5}



pour le tableau donc la ligne de produit je met :

produit    -    0   +  0   -
donc on voit que la solution est compris entre ]e2/3 ;e5[

mais j'ai du mal à comprendre car je pensais que je devais trouver deux valeurs
ou alors xe2/3    et xe5

MERCI

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 14:37

\ln\text{e}^a= a  c'est vrai  on a aussi \text{e}^{\ln a}=a

le problème ici est que l'on veut la valeur de x   on sait résoudre ln a= \ln b par conséquent on veut 2 \ln

on a eu \ln x= 5   5 on sait que l'on va pouvoir l'écrire comme \ln \text{e}^5

On a alors \ln x=\ln \text{e}^{5} mais maintenant  puisque l'on a  \ln a= \ln b on sait que a= b   On en déduit donc que x=\text{e}^5. Il n'y a pas de retour à \ln

La ligne produit a bien dans l'ordre  - \ 0\  + \ 0 \  -

On demande quand ce produit est négatif  en lisant  la ligne produit et en remontant sur l'intervalle on a

- entre 0 et \text{e}^{2/3} ou entre  à compléter

Vous avez donné l'intervalle où le produit est positif

Conclusion l'ensemble solution est

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 15:27

Re,
oui en effet j'ai donné l'intervalle où le produit est positif. ERREUR

donc le produit est négatif entre 0 et e2/3   et engtre e5 et + infini

S=]e2/5:e5[

MERCI

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 15:39

Non  vous récidivez   un peu d'attention

]0~;~\text{e}^{2/3}[\ \cup\ ]\text{e}^{5}~;~+\infty[

Posté par
Nelcar
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 15:42

Re,
ah oui en effet je n'ai pas fait attention
OK.
Merci beaucoup, vous m'aidez bien.

M E R C I

Posté par
hekla
re : inéquation avec ln 30-11-20 à 16:04

De rien



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