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Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus

Posté par
Nerushimy
08-08-20 à 20:25

Bonjour :
Je suis confronté à la démonstration de l'inéquation suivante :
| sin(x) - x | >= (x^2)/2 pour tout réel x.

Je n'arrive pas à la ramener en produit de fonctions plus simples après avoir éliminé la valeur absolue grâce à la bijection de la fonction carré qui est strictement croissante sur les réels positifs.

J'ai tenté d'effectuer des implications à partir de valeurs remarquables du sinus... sans succès.

Mentalement, je visualise bien qu'il s'agit de 2 droites un peu en vague qui et qui permet d'être en dessous de la parabole centrée et dilatée.

J'hésite à sortir des fonctions intuitives et les étudier afin de m'aider à résoudre l'inéquation; néanmoins, je n'apprécie pas du tout ces genres de méthodes et je préfère plus la rigueur.

Posté par
Nerushimy
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 08-08-20 à 20:27

|sin(x) - x| <= (x^2)/2 pour tout réel x. *

Posté par
carpediem
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 08-08-20 à 21:34

salut

tout d'abord tu peux remarquer sue f(x) = sin x - x est impaire ... donc si c'est vrai sur R+ alors c'est vrai sur R puisque x --> x^2/2 est paire

il te reste alors à étudier (les variations de) la fonction x --> x^2/2 - f(x) sur R+ ... et montre qu'elle est positive ...

Posté par
malou Webmaster
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 08-08-20 à 21:34

Nerushimy, tu adaptes ton profil aux questions que tu poses
ce n'est pas ce qui est attendu
je préférerais que tu indiques ton véritable niveau en maths, pour qu'on sache sur quoi s'appuyer pour t'apporter des explications
c'est reprise d'études ? c'est quoi ?

Posté par
carpediem
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 08-08-20 à 21:38

prendre plutôt f(x) = x - sin x ... qui est positif sur R+ ...

justifier mes affirmations bien sûr ...

Posté par
Nerushimy
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 08-08-20 à 21:45

Je peux également déterminer les cas où la fonction dans le module réel est positif et négatif...
Cependant, même s'il est évident de dire que l'annulation s'effectue en 0, je ne sais pas comment procéder algébriquement pour montrer ce résultat. Le corollaire du TVI ne permet seulement d'affirmer son existence...


Devrais-je mettre en jeu la trigonométrie exponentielle (de monsieur Euler) pour confirmer ce résultat ? Ou existe-t-il un moyen bien plus simple ?


Ou devrais-je encore introduire l'étude d'une fonction pour montrer qu'elle est majorée/minorer par 0 sur les réels positifs/négatifs grâce à sa manière de varier (dérivation) ?

Posté par
Nerushimy
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 08-08-20 à 21:47

De terminale scientifique vers Maths Supérieur.

Posté par
Nerushimy
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 08-08-20 à 21:50

Merci carpediem pour la remarque astucieuse sur la parité, cela m'évite de chercher les cas négatifs dans le module ce qui allège énormément le problème déjà. Merci!

Posté par
carpediem
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 09-08-20 à 12:40

il devrait quand même être relativement aisé d'étudier (les variations de) la fonction f : x --> x - sin x ... en terminale quand on se destine à math sup !!!

et de même pour la fonction g : x --> x^2/2 - f(x) ...

Posté par
Nerushimy
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 09-08-20 à 17:35

Oui j'ai résolu l'exercice par analyse grâce l'étude des variations primaires et dérivées secondaires de fonctions que j'ai introduites similaires aux votre.
Au départ, je voulais absolument résoudre l'inéquation algébriquement avec d'autres méthodes. C'est cette raison qui m'a empêchée d'emprunter votre méthode.

Je vous remercie.

Posté par
carpediem
re : Inéquation avec valeur absolue d’une fonction sinus 09-08-20 à 18:25

de rien



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