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Niveau terminale
Inéquation de Bernoulli
Posté par lauraa (invité)
Bonjour,
J'aimerai prouver que :
( 1 + 1/(n-1) )^n > (1 + 1/n)^n+1 pour n>1 de N
Il est écrit que je dois me servir de l'inéquation de Bernoulli. J'ai écrit que
( 1 + 1/(n-1) )^n > 1 + n/n-1
et (1 + 1/n)^n+1 > 1 + (n+1)/n
J'ai démontré que
1 + n/n-1 > 1 + (n+1)/n
Mais je suis bloquée là. En classe on a vu le principe de récurrence, je pense que je pourrais l'utiliser là (en plus de l'inéquation de Bernoulli) masi je ne vois pas comment.
Merci pour votre aide!
Posté par Yalcin (invité)La réponse
Bonjour
On a : pour tout n>1 et n appartenant à IN (A1)
0 > -1
n²+0 > n²-1
on peut élever à la puissance "n" les deux côtés d'après (A1).
d'où on a:
(n²)^n > (n²-1)^n
d'où n^(2n)-(n²-1)^n > 0
d'où ((n^n)(n^n)-((n-1)^n)((n+1)^n)) > 0 (A2)
On a : n²-1 > 0
d'où (n²-1)^n > 0
d'où (n(n-1))^n > 0
d'où (n^n)((n-1)^n) > 0 (A3)
si on divise (A2) par (A3)
on a : [((n^n)(n^n)-((n-1)^n)((n+1)^n))]/[(n^n)((n-1)^n)] > 0
D'où ((n^n)(n^n))/((n^n)((n-1)^n))-((n-1)^n)((n+1)^n)/((n^n)((n-1)^n))>0
d'où ((n^n)/(n-1)^n)-((n+1)^n)/((n^n)) > 0
d'où (n/(n-1))^n-((n+1)/n)^n > 0
d'où (1+(n-1))^n > (1+1/n)^n
Cordialement Yalcin
Posté par Yalcin (invité)Rebonjour
Voici ta réponse : http://melusine.eu.org/syracuse/texmelu/temp/public/015.png
Cordialement Yalcin
Posté par lauraa (invité)Merci, mais....
Merci beaucoup
Mais cette réponse n'utilise pas l'inéquation de Bernoulli.
Laura
Posté par zineb (invité)re : Inéquation de Bernoulli
euh ... je me sens un peu bête mais c'est quoi l'inéquation de Bernoulli ?
Posté par lauraa (invité)re : Inéquation de Bernoulli
(1 + a)^n > 1 + na pour tout n de N, et a > -1
(superieur ou égal)
Posté par Yalcin (invité)rebonjour
Je penses que ma réponse est juste, mais en étant en 1èreS, je ne connais pas "l'inéquation de Bernoulli".
Attendez je vais cherchez ça.
(Je vous conseille de mettre ma réponse sur votre feuille, mais il faut bien comprendre mon raisonnement ( vous , je veux dire))
Cordialement Yalcin
Posté par lauraa (invité)re : Inéquation de Bernoulli
Oui oui votre réponse me parait juste, mais l'énoncé me demande d'utiliser l'inéquation de Bernouilli, qui est :
(1 + a)^n > 1 + na pour tout n de N, et a > -1
(superieur ou égal)
Posté par lauraa (invité)re : Inéquation de Bernoulli
Je ne comprends pas tout. Je pense que vous avec confondu na avec a^n. Mais je me trompe peut-être aussi.
En tout cas, merci de passer du temps pour moi.
Laura.
Posté par Yalcin (invité)non, non
J'ai pris la définiton du lien suivant:
https://www.ilemaths.net/sujet-inegalite-de-bernoulli-15629.html
cordialement Yalcin
(et puis j'avais oublié > = )
Posté par lauraa (invité)re : Inéquation de Bernoulli
Je ne comprends plus rien. Moi je n'ai pas cette formule dans mon cours, et les formules que j'ai trouvé dans mes livres sont aussi :
(1 + a)^n >= 1 + na pour tout n de N, et a > -1
Merci pour votre aide.
Posté par lauraa (invité)re : Inéquation de Bernoulli
Bonjour,
je remonte mon poste, parce que ce problème me tient à coeur
Laura
Posté par Yalcin (invité)re : Inéquation de Bernoulli
http://melusine.eu.org/syracuse/texmelu/temp/public/049.png
Posté par lauraa (invité)re : Inéquation de Bernoulli
Merci beaucoup Yalcin, d'avoir pris le temps de répondre à ma question. mais un simple "merci" n'a pas le pouvoir de traduire l'estime que j'ai pour toi.