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inéquation exponentielle

Posté par
danler77
02-01-19 à 11:12

Bonjour et bonne année à tous,

j'ai un souci avec un exercice, merci à qui voudra bien m'aider :

Déterminer tous les nombres réels a tel que :

quelquesoit a de R,  eax  supérieur ou égal à 1 + x

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 11:23

Bonjour et bonne année également.
Une idée comme ça: Étudie la fonction eax-x-1

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 11:30

j'ai essayé avec la dérivée :
f'(x) = aeax - 1

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 11:34

Une remarque, il y a une erreur dans ton énoncé. Non?

Citation :
quelquesoit a x de R,  eax  supérieur ou égal à 1 + x

Ensuite, il y a à priori différents cas à étudier. En particulier selon le signe de a.

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 11:48

Effectivement, merci sanantonio,

quelquesoit  x de R,   eax supérieur ou égal à 1 + x

si a<0 alors aeax<0 et aeax - 1 < 0 donc f'(x)<0 et f(x) est décroissante ,
mais ensuite, je cale ...

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 11:52

eax  supérieur ou égal à 1 + x f(x)>0
Si f(x) est décroissante, il faut regarder ce qui se passe en +

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 11:53

Oups, j'aurais dû mettre f(x)0

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 11:59

je ne vois pas

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 12:06

Si f(x) est décroissante ET que \lim_{x\rightarrow +\infty}\geq 0
alors f(x)0 quelque soit x

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 14:22

Dans le cas où a<0, je trouve que f'(x) <0 donc f(x) décroissante mais la limite de f(x) en  + est - ...

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 14:24

La fonction f est continue sur .
Il y a donc des valeurs de x pour lesquelles f(x)<0.
Conclusion ... ?

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 14:36

f(x) < 0 si x >0
donc dans le cas où a <0  f(x) 0 si x < 0

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 16:04

Ce que tu veux montrer, c'est ça:

Citation :
quelquesoit a de R,  eax  supérieur ou égal à 1 + x


Il suffit donc de trouver une valeur de x pour laquelle cette inégalité n'est pas vérifiée pour conclure qu'elle ne l'est pas quelque soit x

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 17:21

En fait l'énoncé exact est :

Déterminez tous les nombres réels [b]a [/b]. tel que
quelquesoit a de R,  eax  supérieur ou égal à 1 + x

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 17:23

Non, c'est plutôt:

Citation :
Déterminez tous les nombres réels [b]a [/b]. tel que
quelque soit x de R,  eax  supérieur ou égal à 1 + x

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 17:24

Et on a montré que a<0 ne répond pas à la demande.

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 17:36

très bien,

Merci beaucoup sanantonio312
Je remets tout ça au propre..

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 17:39

Le cas a>0 n'a pas été traité...

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 18:03

Pour a>0
f'(x) = aeax- 1

Il faut maintenant étudier le signe de f'(x)
aeax1
eax1/a

et ensuite ???

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 18:22

Non
eax1
aeaxa
f'(x)a-1
Deux cas à distinguer...

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 18:43

Pourquoi eax1. ???

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 18:51

Tu as raison, je me suis trompé, c'est aeax>0
I faut étudier le signe de f'(x)

Posté par
sanantonio312
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 18:53

eax>1/a
ax>ln(1/a)
ax>-ln(a)
x>-ln(a)/a

Posté par
danler77
re : inéquation exponentielle 02-01-19 à 19:31

Merci sanatonio321,
je pense avoir compris.

Bonne soirée



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