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Inéquations avec racine n ième

Posté par
Nijiro 16-11-20 à 18:40

Bonsoir,
Résoudre dans les inéquations suivantes:

A: \sqrt[3]{x^2-8}<x+2
D_A=]-\infty -2\sqrt{2}] U[2\sqrt{2}; +\infty [

B: x\sqrt[3]{x^4}\leq 20+\frac{3x}{\sqrt[3]{x}}
D_B= ]0;+\infty [

Pour A, j'ai essayé de lever les deux termes au cube, mais ça donne x^3+5x^2+12x+16>0, un polynôme de troisième degré que je n'ai pas pu factoriser.
Pour B, j'ai essayé de poser x=X3, mais en fin j'ai eu: X^7-20-3X^2\leq 0 et ça se complique...

Merci d'avance.

Posté par
skywearre : Inéquations avec racine n ième 16-11-20 à 19:36

Salut,
pour la première, que peux-tu dire du sens de variation de x \mapsto x^3+5x^2+12x+16 ?

Pour la deuxième, je n'ai pas l'impression que l'ensemble solution soit totalement explicitable, tu es sûr de l'énoncé ?

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 16-11-20 à 20:18

Salut,
1 ère question:

D'abord, on restreint le domaine de A à [-2;+[ car \sqrt[3]{x^2-8}\geq 0 et \sqrt[3]{x^2-8}\leq x+2, alors forcément: x+2\geq 0 c-à-d : x\geq -2

On pose : f(x)=x^3+5x^2+12x+16
f est strictement croissante, car f'(x)=3x^2+10x+12>0, par conséquent:
x[-2;+[ ?

2 ème question: Oui j'en suis sure (accent circonflexe sur le u).

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 16-11-20 à 20:21

Désolée, D_A= ]2\sqrt{2}; +\infty [ (j'ai oublié de faire l'intersection avec l'autre intervalle)
donc f(x)>f(22)?

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 16-11-20 à 20:23

Non non, c'est incorrect, désolée encore une fois, 22 DA, donc ça marche pas.

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 16-11-20 à 20:32

Ok, x\in ]2\sqrt{2};+\infty [ donc x>0 et f est strictement croissante sur DA, alors f est strictement positive pour tout x de DA.
S=DA??

Posté par
skywearre : Inéquations avec racine n ième 16-11-20 à 20:51

Ok f est bien croissante, mais j'ai pas trop compris ce que tu as fait ensuite.
Le fait que f est croissante ça nous facilite la vie, parce que si on sait que pour un certain x_0, f(x_0)>0, alors tout x \geq x_0 sera solution de l'inéquation. De même, si pour un x_1, f(x_1) \leq 0 , alors tout x \leq x_1 ne sera pas solution de l'inéquation.

Du coup ça peut être une bonne idée de voir ce que vaut f  en des points particuliers, parce ça nous donnera beaucoup d'information sur ce qu'est l'ensemble solution (j'ai l'impression que c'est ce que tu as tenté de faire mais c'est pas très clair)
(désolé pour le sûre sans e au passage)

Posté par
skywearre : Inéquations avec racine n ième 16-11-20 à 20:53

Et tu peux définir f sur tout \mathbb{R} et pas seulement sur D_A, c'est plus pratique comme ça.

Posté par
alb12re : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 08:49

salut,
quel est l'ensemble de definition de la fonction racine cubique ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 09:13

Bonjour,
Ce serait bien d'avoir l'énoncé de l'exercice séparé du reste :
Le D_A ne fait à priori pas partie de l'énoncé. Je me trompe ?
D'où vient cet énoncé ?

Posté par
alb12re : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 10:47

il convient de verifier l'enonce aupres de ton professeur

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 11:04

Non les deux ensembles font partie de l'énoncé. Et d'accord, je vais vérifier avec mon prof.
Le domaine de la racine cubique est R tout entier.

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 11:07

Sylvieg @ 17-11-2020 à 09:13


D'où vient cet énoncé ?

C'est un exercice que j'ai trouvé dans une série sur net.

Posté par
alb12re : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 11:26

enonce probablement errone

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 11:28

En fait, dans le cours on traite la fonction racine n ième comme étant la réciproque de la fonction xx^n qui réalise une bijection de + sur +, donc le domaine de départ de la réciproque est absolument +. Il y a même des exemples dans le manuel où on fait le domaine de l'équation pour lequel ce qui est à l'intérieur de la racine cubique est positif...Même si on peut faire la racine cubique d'un  nombre négatif également .

Posté par
alb12re : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 11:33

dans ce cas il faut prouver que l'inequation est verifiee pour tout x de l'ensemble de definition (x^2>8)

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 11:47

alb12 @ 17-11-2020 à 11:33

dans ce cas il faut prouver que l'inequation est verifiee pour tout x de l'ensemble de definition (x^2>8)

C'est ce que j'ai fait, puisque on résout l'inéquation dans le cas où ce qui est à l'intérieur de la racine cubique soit uniquement positif, alors il faut que x+2 soit également positif, donc x>=-2. On fait l'intersection de [-2;+[ avec DA et ça donne ]22; +[.

Quand j'ai levé les deux termes de l'inéquation au cube, j'ai abouti à: x3+5x2+12x+16>0 qui est vrai pour tout x de  ]22; +[, ce dernier est donc l'ensemble de solution.

Mais je veux bien savoir que sera l'ensemble de solution si le domaine de l'inéquation est ? Vous avez suggéré de chercher le sens des variations de f(x)=x3+5x2+12x+16; j'ai trouvé qu'elle est strictement croissante, mais comment cela va-t-il nous aider?

Posté par
skywearre : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 12:41

L'intérêt du sens de variation je l'ai expliqué dans mon post de 20h51, tu ne l'as pas compris ?

(Il n'y a pas de problème pour résoudre la première inéquation, tout marche très bien f comme défini plus haut)

Posté par
skywearre : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 12:41

skywear @ 17-11-2020 à 12:41

L'intérêt du sens de variation je l'ai expliqué dans mon post de 20h51, tu ne l'as pas compris ?

(Il n'y a pas de problème pour résoudre la première inéquation, tout marche très bien f comme défini plus haut)


en étudiant f comme défini plus haut *

Posté par
skywearre : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 12:47

Du coup je n'ai pas compris comment tu aboutis à ce résultat

Citation :
x^3+5x^2+12x+16>0 qui est vrai pour tout x de  ]2\sqrt{2},+\infty], ce dernier est donc l'ensemble de solution.
sans utiliser la croissance de f

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 12:53

skywear @ 17-11-2020 à 12:41

L'intérêt du sens de variation je l'ai expliqué dans mon post de 20h51, tu ne l'as pas compris ?

Je ne l'ai pas vu, désolée ^_^ '

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 13:01

skywear @ 17-11-2020 à 12:47

Du coup je n'ai pas compris comment tu aboutis à ce résultat [...] sans utiliser la croissance de f

J'ai pensé que puisque tout x de ]22;+[ est strictement positif, alors x3>0 et 5x2>0 et 12x>0 donc f(x) >0, d'où le résultat.

Et merci! J'ai compris l'idée derrière l'étude du sens des variations  ^_^.

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 13:06

skywear @ 16-11-2020 à 19:36


Pour la deuxième, je n'ai pas l'impression que l'ensemble solution soit totalement explicitable

Pour la deuxième, j'ai posé X3=x mais cela ne me semble pas vraiment utile , car j'ai abouti à: X7-3X2-20<0 ...

Posté par
skywearre : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 13:38

Nijiro @ 17-11-2020 à 13:01

skywear @ 17-11-2020 à 12:47

Du coup je n'ai pas compris comment tu aboutis à ce résultat [...] sans utiliser la croissance de f

J'ai pensé que puisque tout x de ]22;+[ est strictement positif, alors x3>0 et 5x2>0 et 12x>0 donc f(x) >0, d'où le résultat.

Et merci! J'ai compris l'idée derrière l'étude du sens des variations  ^_^.


ah oui effectivement tu as raison, c'est plus simple comme ça  
Pour ta question précdente où l'ensemble sur lequel résoudre l'inéquation serait \mathbb{R}, on pourrait expliciter l'ensemble solution mais il serait vraiment pas beau, parce que résoudre f(x)=0 n'est pas facile.
Le fait de se restreindre à D_A ça nous simplifie la vie parce qu'on ne peut pas avoir f(x)=0 pour x \in D_A.

Le fait que f prenne des valeurs négatives puis positives, ainsi que sa croissance et sa continuité, assure que f a une unique valeur d'annulation \alpha  (c'est le théorème des valeurs intermédiaires). Donc l'intervalle solution serait ]\alpha,\+\infty[, mais  \alpha est compliqué (bien que calculable).

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 15:50

Donc on peut donner une approximation ou un encadrement de si on dessine la courbe de f et on applique la méthode de dichotomie.
Merci!

Maintenant que peut-on faire pour la deuxième inéquation??

Posté par
skywearre : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 16:47

Rien de mieux que de montrer que X^7-3X^2-20 a une unique racine et d'exprimer l'ensemble solution en fonction de cette racine selon moi.

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 16:57

Autrement dit, on applique TVI.. et l ensemble sera ]-;], donc on aura pas une valeur précise..

Posté par
Nijirore : Inéquations avec racine n ième 17-11-20 à 16:57

Merci beaucoup skywear ^_^!


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