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Inéquations trigonométriques

Posté par
Samsco 26-03-20 à 22:05

Bonsoir, besoin d'aide pour cet exo svp

Résoudre dans D les inéquations suivantes et représenter les images de leurs solutions sur le cercle.

a) \sqrt{2} \sin(2x+\frac{\pi}{6})-1 \leq 0,          D=[0 ; 2π[

b) \sin(x)-\cos(x) \leq 0,          D=R

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 26-03-20 à 22:07

a) \sqrt{2} \sin(2x+\frac{\pi}{6})-1 \leq 0 \\ \sin(2x+\frac{\pi}{6}) \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 26-03-20 à 22:17

2x+\dfrac{\pi}{6}\in [\dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4}] \\ \dfrac{3\pi}{4}\leq 2x+\dfrac{\pi}{6}\leq \dfrac{\pi}{4} \\ \\ \dfrac{7\pi}{12}\leq 3x \leq \dfrac{\pi}{12} \\ \\ \dfrac{7\pi}{24}\leq x\leq \dfrac{\pi}{24}

S=[\dfrac{7\pi}{24}; \dfrac{\pi}{24}]

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 26-03-20 à 22:20

Voilà

Inéquations trigonométriques

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 26-03-20 à 22:47

Posté par
PLSVUre : Inéquations trigonométriques 26-03-20 à 22:49

Bonsoir
3π/4 n'est pas inférieur à  π/4   
  Pars de 0 et tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à 2π

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 26-03-20 à 23:04

2x+\dfrac{\pi}{6}\in [\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4}] \\ \dfrac{3\pi}{4}\leq 2x+\dfrac{\pi}{6}\leq \dfrac{\pi}{4} \\ \\ \dfrac{7\pi}{12}\leq 3x \leq \dfrac{\pi}{12} \\ \\ \dfrac{7\pi}{24}\leq x\leq \dfrac{\pi}{24}

S=[\dfrac{7\pi}{24}; \dfrac{\pi}{24}]

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 26-03-20 à 23:06

Ça va maintenant ?
2x+\dfrac{\pi}{6}\in [\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4}] \\ \dfrac{3\pi}{4}\leq 2x+\dfrac{\pi}{6}\leq \dfrac{\pi}{4} \\ \\ \dfrac{\pi}{12}\leq 2x \leq \dfrac{7\pi}{12} \\ \\ \dfrac{\pi}{24}\leq x\leq \dfrac{7\pi}{24}

S=[\dfrac{\pi}{24}; \dfrac{7\pi}{24}]

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 26-03-20 à 23:11


2x+\dfrac{\pi}{6}\in [\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4}] \\ \dfrac{\pi}{4}\leq 2x+\dfrac{\pi}{6}\leq \dfrac{3\pi}{4} \\ \\ \dfrac{\pi}{12}\leq 2x \leq \dfrac{7\pi}{12} \\ \\ \dfrac{\pi}{24}\leq x\leq \dfrac{7\pi}{24}

S=[\dfrac{\pi}{24}; \dfrac{7\pi}{24}]

Posté par
aitomathsre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 07:42

Bonjour Samsco

Il y a du bon dans ton travail mais tu te trompes en lisant les valeurs sur ton cercle

l'intervalle [/4 ; 3/4] correspond aux valeurs situées au-dessus de 2/2

place toi sur 3/4 et recule d'un tour, tu obtiens 3/4 - 2  =  -5/4

reprends ton calcul en encadrant 2x+/6 par -5/4 à gauche et /4 à droite

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 08:21

J'ai pas trop compris ce que vous avez dit sur la façon dont je doit lire l'Intervalle

Posté par
aitomathsre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 08:31

Tu dois résoudre la double inéquation

-5/4   2x + /6 /4

Posté par
Priamre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 09:43

Samsco, tu as déterminé deux valeurs (/24 et 7/24) qui sont solutions de l'équation correspondant à l'égalité des deux membres de l'inéquation donnée.
Elles sont exactes, mais il y en a d'autres.
Tu les as ratées parce que tu as omis d'ajouter  + 2k  
Les solutions complètes de l'équation sont
2x = /12 + 2k, d'où  x = 7/24 + k
et
2x = 7/12 + 2k, d'où  x = 7/24 + k .
D'autre part, l'intervalle S que tu donnes à 23h11 pour solution de l'inéquation n'est pas correct. A ce propos, tu pourrais regarder par exemple, pour  x = 0 ou /4 , si l'néquation est satisfaite ou non.

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 11:21

aitomaths @ 27-03-2020 à 08:31

Tu dois résoudre la double inéquation

-5/4   2x + /6 /4


Ça je l'avais compris mais pourquoi je dois reculer de 2π?

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 11:23

Priam @ 27-03-2020 à 09:43

Samsco, tu as déterminé deux valeurs (/24 et 7/24) qui sont solutions de l'équation correspondant à l'égalité des deux membres de l'inéquation donnée.
Elles sont exactes, mais il y en a d'autres.
Tu les as ratées parce que tu as omis d'ajouter  + 2k  
Les solutions complètes de l'équation sont
2x = /12 + 2k, d'où  x = 7/24 + k
et
2x = 7/12 + 2k, d'où  x = 7/24 + k .
D'autre part, l'intervalle S que tu donnes à 23h11 pour solution de l'inéquation n'est pas correct. A ce propos, tu pourrais regarder par exemple, pour  x = 0 ou /4 , si l'néquation est satisfaite ou non.

Comment je dois lire les solutions sur le cercle parce que je suis confus là ?

Posté par
Priamre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 11:46

Les valeurs que tu as indiquées pour l'angle  x  correspondent à k = 0. Les autres valeurs sont données par  k = 1 .

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 12:04

Mais ce n'est pas une équation
Si ça l'était on aurais comme solution dans [0;2π[
x=\dfrac{7\pi}{24} \\ \\ x=\dfrac{\pi}{24} \\ \\ x=\dfrac{31\pi}{24} \\ \\ x=\dfrac{25\pi}{24}

Posté par
Priamre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 12:53

D'accord. Ce sont les bornes des intervalles solution de l'inéquation.
Tu pourrais placer (approximativement) ces angles sur le cercle trigonométrique, considérant que /24 est un angle positif très petit et que 7/24 est compris entre /4 et /3.
Pour savoir quels sont le "bons" intervalles, tu pourrais donner à  x  les valeurs de  0  et de  /4 et regarder dans quel cas l'inéquation est satisfaite.

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 14:45

Pour x=0

\sin(2\times0+\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}< \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Pour x=?/4

\sin (\dfrac{ 2\pi}{4 }+ \dfrac \pi 6 )=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} > \dfrac 1 2

Inéquations trigonométriques

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 14:52

Une erreur dsl
Pour x=0

\sin(2\times0+\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}< \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Pour x=?/4

\sin (\dfrac{ 2\pi}{4 }+ \dfrac \pi 6 )=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Inéquations trigonométriques

Posté par
Priamre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 14:59

Tu peux déterminer maintenant les intervalles constituant la solution de l'inéquation.

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 15:01

Je ne vois toujours pas comment

Posté par
Priamre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 15:02

Regarde à 12h53.

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 15:15

Ça donne

[\frac{\pi}{24} ; \frac{7\pi}{24}]U[\frac{25\pi}{24} ; \frac{31\pi}{24}]

Posté par
Priamre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 15:33

/4 est un angle qui appartient à l'intervalle  /24; 7/24 .
Tu pourrais vérifier que, pour  x  égal à /4 , l'inéquation est bien vérifiée.

Posté par
PLSVUre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 16:38

Pour faire  plus  simplement
   f est définie sur [0,2π]
reprends ton message
  si   π/4≤2x+π/6≤3π/4 alors f(x)≥ 0    
  reprends ton message
2x+\dfrac{\pi}{6}\in [\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4}] \\ \dfrac{\pi}{4}\leq 2x+\dfrac{\pi}{6}\leq \dfrac{3\pi}{4} \\ \\ \dfrac{\pi}{12}\leq 2x \leq \dfrac{7\pi}{12} \\ \\ \dfrac{\pi}{24}\leq x\leq \dfrac{7\pi}{24}

S=[\dfrac{\pi}{24}; \dfrac{7\pi}{24}] cet ensemble n'est pas solution

d'où   .......

Posté par
aitomathsre : Inéquations trigonométriques 27-03-20 à 18:01

Citation :
aitomaths @ 27-03-2020 à 08:31

Tu dois résoudre la double inéquation

-5/4   2x + /6 3/4


Ça je l'avais compris mais pourquoi je dois reculer de 2π?


parce que d'une part
-5/4 est une autre mesure de 3/4
et d'autre part :
-5/4 est la mesure qu'on trouve en parcourant le cerle à l'envers de /4

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 28-03-20 à 22:11



Pour x=π/4

\sin (\dfrac{ 2\pi}{4 }+ \dfrac \pi 6 )=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} >\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 28-03-20 à 22:15

Pour x=π/4

\sin (\dfrac{ 2\pi}{4 }+ \dfrac \pi 6 )=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} >\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 28-03-20 à 22:16

PLSVU @ 27-03-2020 à 16:38

Pour faire  plus  simplement
   f est définie sur [0,2π]
reprends ton message
  si   π/4≤2x+π/6≤3π/4 alors f(x)≥ 0    
  reprends ton message
2x+\dfrac{\pi}{6}\in [\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4}] \\ \dfrac{\pi}{4}\leq 2x+\dfrac{\pi}{6}\leq \dfrac{3\pi}{4} \\ \\ \dfrac{\pi}{12}\leq 2x \leq \dfrac{7\pi}{12} \\ \\ \dfrac{\pi}{24}\leq x\leq \dfrac{7\pi}{24}

S=[\dfrac{\pi}{24}; \dfrac{7\pi}{24}] cet ensemble n'est pas solution

d'où   .......

Je ne comprend pas

Posté par
Priamre : Inéquations trigonométriques 28-03-20 à 22:47

Hier, à 9h43, je t'ai suggéré d'essayer  x = 0  et  x = /4 .
Tu l'as fait pour  x = /4 .
Et  x = 0 ?

Posté par
PLSVUre : Inéquations trigonométriques 28-03-20 à 22:48

les intervalles que tu indiques   dans ce message 27-03-20 à 15:15
   sont ceux qui correspondent à f(x)≥0

Posté par
aitomathsre : Inéquations trigonométriques 28-03-20 à 22:54

Pas facile à expliquer... je joins une photo !

Inéquations trigonométriques

**image tournée, faire CTRL+F5, tenir l'appareil à 90° pour prendre la photo**

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 09:23

Priam @ 28-03-2020 à 22:47

Hier, à 9h43, je t'ai suggéré d'essayer  x = 0  et  x = /4 .
Tu l'as fait pour  x = /4 .
Et  x = 0 ?

Pour x=0
\sin(2×0+\frac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{2}<\dfrac{\sqrt{2}}{2}
L'inequation est vérifiée

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 09:28

aitomaths @ 28-03-2020 à 22:54

Pas facile à expliquer... je joins une photo !

Inéquations trigonométriques


Je crois que je vous ai compris mais bon pourquoi vous préférez encadrer 2x+ π/6 avec -5π/4 au lieu de 3π/4 ( est ce pour que je puisse bien écrire l'intervalle ?)

Posté par
aitomathsre : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 09:30

il y a une erreur dans la dernière ligne de ma photo :

j'ai écrit -5/6 au lieu de 5/4

1000 excuses....

Posté par
aitomathsre : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 09:33

Citation :

Je crois que je vous ai compris mais bon pourquoi vous préférez encadrer 2x+ π/6 avec -5π/4 au lieu de 3π/4 ( est ce pour que je puisse bien écrire l'intervalle ?)


il faut partir d'un des intervalles que j'ai coloriés en rouge et un intervalle, c'est "ordonné" du plus "petit" nombre vers le plus "grand"

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 09:36

D'accord je fais et je vous montre

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 10:17

Bonjour

-\dfrac{5\pi}{4}+k2\pi\leq 2x+\dfrac{\pi}{6}\leq \dfrac{\pi}{4}+k2\pi \\ \\ -\dfrac{17\pi}{12}+k2\pi\leq 2x\leq \dfrac{\pi}{12}+k2\pi \\ \\ -\dfrac{17\pi}{24}+k\pi\leq x\leq \dfrac{\pi}{24}+k\pi

Pour k=0 ; -\dfrac{17\pi}{24}\leq x\leq \dfrac{\pi}{24}
Pour k=1 ; \dfrac{7\pi}{24}\leq x\leq \dfrac{25\pi}{24}

J'ai lu les solutions dans [0;2?] sur le cercle Trigo et j'ai trouvé

S=[0;\frac{\pi}{24}]U[\frac{7\pi}{24};\frac{25\pi}{24}]U[\frac{31\pi}{24};2\pi[

Inéquations trigonométriques

**image tournée, faire CTRL+F5, tenir l'appareil à 90° pour prendre la photo**

Posté par
Priamre : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 10:24

Je suis d'accord pour cette solution.

Posté par
Samscore : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 10:26

Merci beaucoup à tous d'avoir pris votre temps pour m'expliquer

Posté par
aitomathsre : Inéquations trigonométriques 29-03-20 à 10:50

ok pour moi !  

ce n'était pas facile à distance mais tu as fait preuve de ténacité (et Priam aussi !)


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