Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

inéqution d'une variable complexe

Posté par
cyprienjojo 08-07-18 à 22:35

Bonjour mes très chers. Aidez moi à résoudre dans C (ensemble des nombres complexes) et à représenter l'ensemble des solutions, l'inéquation suivante:
|exp(z) - 1| < 1. merci

Posté par
LeHiboure : inéqution d'une variable complexe 08-07-18 à 23:00

Bonsoir,

On pose z = x+iy
d'où exp(z) = exp(x)(cos(y) + isin(y))
On calcule alors le carré du module du terme de gauche, et après quelques simplifications, on arrive à :
exp(x) < 2cos(y)
Donc :
- pour les y tels que cos(y) 0, il n'y a pas de solution
- pour les y tels que cos(y) > 0, on a x < ln(2) + ln(cos(y))
A finaliser...
Sauf erreur de ma part, toujours possible

Posté par
cyprienjojore : inéqution d'une variable complexe 09-07-18 à 01:45

merci

Posté par
cyprienjojore : inéqution d'une variable complexe 09-07-18 à 09:44

bonjour mon cher Lehibou, j'ai pris du temps pour comprendre ce que vous m'avez répondu pour mon problème ci-dessus, mais je n'ai pas compris. SVP  merci

Posté par
jsvdbre : inéqution d'une variable complexe 09-07-18 à 13:23

Bonjour cyprienjojo.

Si tu notes z = a + ib alors \exp(z) = \exp(a)(\cos(a) + i\sin(b))

Tu calcules :

\begin{aligned}|\exp(z) - 1|^2 & = (e^a\cos(b) - 1)^2+e^{2a}\sin^2(b) \\ & = e^{2a} - 2e^a\cos(b) +1\end{aligned}

Et on cherche les z tels que |\exp(z) - 1|^2 < 1 donc tels que e^a < 2 \cos(b).

Il est nécessaire que \cos(b) soit strictement positif pour avoir des solutions.

Il n'y aura donc de solution que si \blue b \in ]-\pi/2;\pi/2[ + 2k\pi,~k \in \Z .

Et ces solutions seront données pour \blue a < \ln(2\cos(b))

Exemple :  b= 2k\pi alors a \in ]-\infty;\ln(2)[

Ci -dessous une partie des solutions.

Il y a deux asymptotes horizontales : y = \pi/2 et y = -\pi/2

Le graphique doit être dupliqué verticalement en 2k\pi pour k \in \Z.

La génératrice du graphique-solution est donc l'inéquation -\arccos(e^x/2) < y < \arccos(e^x/2) pour x \in ]-\infty; \ln(2)[

L'ensemble des solutions est donc \blue \boxed{\{z =x+iy~/~-\arccos(e^x/2)+2k\pi < y < \arccos(e^x/2)+2k\pi~;~ k\in \Z\;~x\in ]-\infty; \ln(2)[ }}

inéqution d\'une variable complexe

Posté par
cyprienjojore : inéqution d'une variable complexe 09-07-18 à 17:44

merci beaucoup très cher


Rechercher
Menu
Espace membre
19 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1724 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !