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infinite de nb premier de la forme 6k-1

Posté par
mkzpr0
26-10-22 à 17:56

Bonjour,

J'aimerais savoir si ma démonstration est juste pour l'énoncé suivant :
Montrez qu'il y a une infinite de nb premiers de la forme 6k-1, k un entier différent de 0.

Je raisonne par l'absurde en supposant qu'il y en a un nb fini.
Notons N le + grand d'entre eux :
alors M = 6N-1 est impair donc 2 ne divise pas M
Ce qui mène au petit théorème de Fermat :
M \equiv 1 [2]
Donc  6N \equiv 0 [2]
Donc   N \equiv 0[2]
Ce qui est absurde car N est un nombre premier.
Finalement il existe une infinité de nombre premier de la forme 6k-1

Posté par
Ulmiere
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 18:45

C'est totalement faux. Le fait que M = 1[2] peut effectivement être tiré du théorème de Fermat, mais ce serait comme se brosser les dents avec de l'eau de Javel.

6N = 0[2] est une tautologie. C'est vrai pour n'importe quel N, parce que 6 est pair, donc son produit avec ce que tu veux sera toujours pair.

La dernière ligne est horriblement fausse. Tu ne peux pas simplifier des congruences comme ça. Derrière tout ça il y a des anneaux, des histoires d'éléments inversibles et compagnie. 6 n'est pas premier avec 2 donc pas inversible modulo 2 donc tu ne peux pas diviser par 6 une égalité modulo 2.

Posté par
mkzpr0
infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 18:56

Bonjour,

J'aimerais savoir si ma démonstration est juste pour l'énoncé suivant :
Montrez qu'il y a une infinite de nb premiers de la forme 6k-1, k un entier différent de 0.

Je raisonne par l'absurde en supposant qu'il y en a un nb fini.
Notons N le + grand d'entre eux :
alors M = 6N-1 est impair donc 2 ne divise pas M
Ce qui mène au petit théorème de Fermat :
M \equiv 1 [2]
Donc  6N \equiv 0 [2]
Donc   N \equiv 0[2]
Ce qui est absurde car N est un nombre premier.
Finalement il existe une infinité de nombre premier de la forme 6k-1

Merci de l'aide d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
mkzpr0
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 18:57

Mince j'ai eu un problème de connection et j'ai malencontreusement reposté le sujet (peut on le faire supprimer svp)?

*** message déplacé ***

Posté par
mkzpr0
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 18:58

d'accord merci !!

Posté par
mkzpr0
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 19:02

c'est vrai que c'était rapide et faux j'aurais juste pu mettre 3N congru à 0 [2]

Posté par
vander1
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 19:07

Bonjour mkzpr0.

Est-ce qu'un nombre de la forme 6k-1 est toujours premier?

Pour k=6, on aura 6x6-1 = 35 qui nen est pas un!

Cordialement,

*** message déplacé ***

Posté par
carpediem
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 19:07

salut

je ne comprends as ce que tu fais :

comment passes-tu de 6N = 0 [2] à N = 0 [2] ?

*** message déplacé ***

Posté par
carpediem
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 19:09

vander1 : le pb n'est pas là ...

on se moque que certain nombre de la forme 6k - 1 ne soit pas premier
le pb est de montrer qu'on peut toujours en trouver un plus grand que le "dernier" qu'on a trouvé !!



*** message déplacé ***

Posté par
Ulmiere
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 19:12

Faux aussi, 2 n'est pas premier avec 2, donc tu ne peux pas non plus diviser par 2.

Ta congruence n'est pas simplifiable, sauf par 3 qui est congru à 1 modulo 2. Ca te donnera 2N = 0[2], c'est à dire 0 = 0 [2].
Ca ne mène nulle part

Posté par
carpediem
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 19:22

à regrouper avec (Lien cassé)

Posté par
carpediem
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 26-10-22 à 19:28

notons p_n le plus grand nombre de la forme 6k - 1

considérer alors le produit P = 5\prod_1^n p_k + 4 ou un truc du genre ...

1/ montrer qu'il n'est divisible par aucun des p_k précédents
2/ montrer qu'il n'est pas divisible par un premier de la forme 6k + 1
3/ conclure

*** message déplacé ***

Posté par
mkzpr0
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 27-10-22 à 16:31

Désolé pour l'attente alors j'ai considéré le produit P = 6\prod{pk} -1

Je me pose juste la question pourquoi si on arrive à montrer que P n'est ni divisible par l'ensemble des premiers de la forme 6k -1 et 6k+1 il est automatiquement premier ?
N'y a-t-il pas des nb premiers d'autres formes ?
1)
Déjà 2 ne divise pas P car P est impair, De plus, P\equiv -1[3]
Donc 3 ne divise pas P.
Soit p un facteur premier de P de la forme 6k-1 :
Alors p\mid 6\prod_{k=1}^{n}{pk} car p<= pn
Or p divise P donc divise la différence des deux on aboutit à p\mid 1 ce qui est absurde.

2) p est ALORS??? de la forme 6k+1 , pourquoi?
Supposons,

On aboutit aussi à une contradiction car si on effectue la décomp de P en facteurs premiers :
P=\prod_{k=1}^{n}{pk^{ak}}
et alors comme chacun des pk est congru à 1[6],  M aussi seulement c'est faux car P\equiv -1[6].

En conclusion les nombres premiers de la formes 6k-1 et 6k+1 et 2 et 3 ne divisent pas P.




Posté par
ty59847
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 27-10-22 à 16:36

Les nombres premiers sont tous de la forme 6k-1 ou 6k+1 , sauf 2 et 3.
Et ça se démontre très facilement : un nombre de la forme 6k+2 ou 6k+6 ou 6k est pair, un nombre de la forme 6k+3 est multiple de 3 ; il ne reste que les 6k+1 ou 6k+5  (autre notation pour les 6k-1)

Posté par
mkzpr0
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 27-10-22 à 16:46

Ah je vois d'accord merci c'est utile

Posté par
carpediem
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 27-10-22 à 19:26

pourquoi on ne veut pas la divisibilité de P par un premier de la forme 6k + 1 ?

parce que si tel était le cas alors P ne serait pas premier or nous on veut un premier plus grand et de la forme 6k - 1

je n'ai pas tout vérifié ton raisonnement mais si tu arrives à démontrer que

mkzpr0 @ 27-10-2022 à 16:31

En conclusion les nombres premiers de la formes 6k-1 [en nombre fini ar hypothèse] et [de la forme] 6k+1 et 2 et 3 ne divisent pas P.
ben ça veut dire que P est un "nouveau" nombre premier de la forme 6k - 1 car clairement supérieur à tout ceux que tu avais déjà

et donc que la liste des premiers de la forme 6k- 1 est infinie

Posté par
mkzpr0
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 27-10-22 à 20:17

Yep, ça marche, merci!!

Bonne soirée

Posté par
carpediem
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 27-10-22 à 20:51

merci et à toi aussi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : infinite de nb premier de la forme 6k-1 29-10-22 à 17:23

Bonjour,
J'ai l'impression que la lettre k joue deux rôles différents dans ce qui précède.
Je propose une réécriture de la démonstration en utilisant deux lettres distinctes.

On suppose qu'il y a un nombre fini n de nombres premiers de la forme 6k-1 avec k dans *.
On les note pi avec i entier de 1 à n.
On pose N = \prod_{i=1}^{n}{p_i}. Et P = 6N-1.
Ni 2, ni 3, ni les pi ne divisent P.
Les diviseurs premiers de P sont donc tous de la forme 6k+1.
P est donc un produit de facteurs tous congrus à 1 modulo 6.
Ce qui est impossible car P est congru à -1 modulo 6.



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