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inifinitude des nombre premiers

Posté par
karatetiger
13-06-08 à 11:08

Bonjour quelqu'un pourrais m'expliquer comment démontrer l'infinitude des nombres premiers en utilisant la série harmonique?
Merci

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 11:55

salut,

la série harmonique ?

Posté par
karatetiger
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 11:56

la série des 1/n

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 11:57

ça parait compliqué pour un résultat comme ça non ?

Posté par
karatetiger
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 11:57

Ba je sais pas lol

Posté par
karatetiger
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 11:58

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier#Infinit.C3.A9_des_nombres_premiers

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:02

ok, bé c'est clair la démo... dans le principe du moins, mais pour l'oral du capes... ça parait un peu évolué, ou alors c'est pour la culture générale

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:06

ici la somme des 1/n^x existe si x>1 par comparaison avec Riemann

on fait tendre x vers 1

donc la série tend vers la somme des 1/n (c'est ce passage là qui est pas très clair) or la somme des 1/n est infini

donc la somme à droite est infinie donc vu qu'on fait une somme sur l'ensemble des nombres premiers, cet ensemble est infini

Posté par
karatetiger
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:07

Oui mais pourquoi la somme est égale au produit la?

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:09

j'ai un exo qui ressemble à ça en utilisant fi(n)

la fonction d'euler égale au nombre de nombres premiers inférieurs à n (ça rappelle le sujet d'écrit...)

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:12

http://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:16

remarque je suis pas sur du tout que ce soit évident, j'ai même l'impression en effet que c'est difficile à prouver

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:17

tu fais dérouler

Posté par
karatetiger
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:22

mais il n'y a pas la démo de cet égalité

Posté par
orelo
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 12:24

dans travaux d'euler
         calcul d'euler

y a écrit "dérouler" en petit à droite

c'est la démo je crois, mais j'ai pas trop essayé de comprendre

Posté par
carpediem
infinitude des nombres premiers 13-06-08 à 17:39

salut

une démo niveau lycée:

soit P1, P2,.... Pk tes nombres premiers et considère n=Pk!+1
alors n n'est pas divisible par 2,3,...,Pk
donc on a 2 cas:
soit n est 1e
soit n est divisible par un nombre 1e >Pk

dans les 2 cas tu prouve l'existence d'un nombre 1e > Pk
et tu en conclut que l'ensemble des nombres 1e est infini

Posté par
carpediem
infinitude des nombres premiers 13-06-08 à 17:40

délsolé:
tu prouves !!
tu conclus !!!

Posté par
karatetiger
re : inifinitude des nombre premiers 13-06-08 à 17:43

pourquoi on n'a cela?"soit n est divisible par un nombre 1e >Pk"

Posté par
carpediem
infinitude des nombres premiers 13-06-08 à 17:53

n=Pk!+1 n'est pas divisible par 2,3,4,5,...Pk donc si il n'est pas 1e il est divisible par un nombre > Pk et d'après la décomposition de tout nombre en produit de nombres 1e l'un de ses diviseurs est premier et > Pk



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