Bonjour quelqu'un pourrais m'expliquer comment démontrer l'infinitude des nombres premiers en utilisant la série harmonique?
Merci
ok, bé c'est clair la démo... dans le principe du moins, mais pour l'oral du capes... ça parait un peu évolué, ou alors c'est pour la culture générale
ici la somme des 1/n^x existe si x>1 par comparaison avec Riemann
on fait tendre x vers 1
donc la série tend vers la somme des 1/n (c'est ce passage là qui est pas très clair) or la somme des 1/n est infini
donc la somme à droite est infinie donc vu qu'on fait une somme sur l'ensemble des nombres premiers, cet ensemble est infini
j'ai un exo qui ressemble à ça en utilisant fi(n)
la fonction d'euler égale au nombre de nombres premiers inférieurs à n (ça rappelle le sujet d'écrit...)
remarque je suis pas sur du tout que ce soit évident, j'ai même l'impression en effet que c'est difficile à prouver
dans travaux d'euler
calcul d'euler
y a écrit "dérouler" en petit à droite
c'est la démo je crois, mais j'ai pas trop essayé de comprendre
salut
une démo niveau lycée:
soit P1, P2,.... Pk tes nombres premiers et considère n=Pk!+1
alors n n'est pas divisible par 2,3,...,Pk
donc on a 2 cas:
soit n est 1e
soit n est divisible par un nombre 1e >Pk
dans les 2 cas tu prouve l'existence d'un nombre 1e > Pk
et tu en conclut que l'ensemble des nombres 1e est infini
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